一、幂级数形变映射法求5阶KdV方程的精确解（论文文献综述）
张晓龙[1]（2019）在《解析逼近方法和谱方法中几类问题研究》文中研究指明在工程和科学计算中,微分方程占据着非常重要的地位。但令人遗憾的是对于大部分非线性微分方程目前没法得到其精确解,即使对于某些线性微分方程也没法得到其精确解。因而微分方程的逼近解受到了科研人员广泛关注。目前逼近方法主要可以分为两类:解析逼近方法和数值逼近方法。在解析逼近方法中本文主要研究了 Adomian分解法（ADM）、带有收敛加速参数的解析逼近方法（AMP）和同伦分析方法（HAM）。在数值逼近方法中本文主要研究谱方法。这两类方法虽然表面上看似没有联系,其实它们都是求解级数解的方法。本文主要围绕级数解的收敛性、误差估计及计算效率展开研究。主要成果如下:1.给出了 Adomian分解法的算法机理,证明了 Adomian分解法可以由一般的Lya-punov’s人工小参数法得到。2.提出了一种求解非线性问题的新算法——带有收敛加速参数c的解析逼近方法（AMP）,这个收敛加速参数c用于调节所得到的级数解的收敛速度和收敛区间。在此基础上,本文进一步提供了求解最优加速收敛参数c的具体方法。与ADM相比,当收敛参数取最优值时AMP所得到的级数解的收敛速度和收敛区间大大增大。同时,本文也证明了 Adomian分解法为AMP方法的一种特殊情况,即当收敛加速参数c=1的情形。3.对含有Lidstone边界条件的2n（n ∈ N+）阶线性微分方程和非线性微分方程,分别给出这两类微分方程同伦级数解的误差估计。为了分析误差,首先给出含有Lid-stone 边界条件的线性微分方程和非线性微分方程解的存在唯一性条件。4.给出了半无限区域上有理Chebyshev谱方法实现加速收敛的途径:二次映射z =Z + ∈Z2和Sinh映射z =1/Lsinh（LZ）,并且比较了恒等映射、二次映射和Sinh映射所得到解的收敛速度。当求解奇异微分方程时,二次映射所得解的收敛速度大于恒等映射所得解的收敛速度,Sinh映射所得解的收敛速度大于二次映射所得解的收敛速度。从渐近和数值角度,利用三种映射变换下的有理Chebyshev谱方法分析了半无限区间上奇异微分方程:Thomas-Fermi方程。5.首先定义了谱系数的有界包络函数和最优截断,然后给出了最优截断的判断定理,最后分析了几类多元Chebyshev和Fourier级数的最优截断。Chebyshev和Fourier谱方法之所以可以用于求解高维空间问题是由于它们结合使用了 Smolyak网格点和双曲交叉截断。双曲截断的最优情形是函数为“Crossy”函数,但是什么样的函数是“Crossy”函数呢?虽然目前仍不能给出准确的回答,但是结合低秩的SVD分解、Poisson和定理、周期函数和双曲坐标对其进行了分析。对于秩为一且边界或者区域内部含有弱奇点的函数,双曲交叉截断确实为最优的,此时函数的谱系数为代数收敛。
江月[2]（2016）在《同伦分析法求解非线性偏微分方程》文中研究说明在上世纪90年代,基于同伦思想在拓扑理论中的应用,廖世俊首次提出了同伦分析法（HAM）。相对于传统解析近似方法,同伦分析法不仅不受小参数限制,还能够自由选择不同的基函数去表示非线性问题的解。此外,非线性问题级数解的收敛区域和收敛速度也可以通过非零辅助参数h来调节。因此,同伦分析法是求解非线性问题的重要方法。本文详细论述了同伦分析法的基本思想,利用同伦分析法给出了Ostrovsky方程、KPP方程和带初值的STO方程的近似解析解。在求解Ostrovsky方程和KPP方程的过程中,通过行波变换把偏微分方程转变成常微分方程的形式,在此基础上求出方程的近似解。在求解带初值的STO方程时,选择不同的基函数,得到了方程不同形式的近似解。本文分别求出了非线性方程的近似周期解和近似孤立波解,同时借助Mathematica软件将所得的近似解析解进行误差分析,研究结果充分说明了同伦分析法的适用性和优越性。
许莉莉[3]（2015）在《几类分数阶微分方程的解》文中进行了进一步梳理分数阶微分方程是分数阶微分理论的研究热点.随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现,对这些方程的求解显得尤为迫切.然而绝大多数分数阶微分方程无法求出精确的解析解,必须使用近似方法来得到近似解析解,以便于理论分析和实际计算,比单纯的数值解优越.文中分别使用算子法、同伦分析法、同伦摄动法和DGJ解法等对几类分数阶微分方程进行研究,得到其近似解析解.文章共分为四部分：第一部分,主要介绍国内外关于分数阶微分方程近似解析解的研究现状和课题引入的背景.第二部分,利用算子法研究一类含有Laguerre导数分数阶微分方程的近似解析解.第三部分,全面地介绍了同伦分析法的基本原理,并将其成功的应用于求解一类含有Laguerre导数分数阶微分方程边值问题：以及一类时间分数阶扩散方程的初值问题：第四部分,研究下面一类非线性分数阶方程的初值问题：利用同伦摄动法和DGJ方法求解非线性时间分数阶双曲型方程：非线性时间分数阶平流方程：和非线性时间分数阶Fisher方程：
胡东坡[4]（2013）在《三类变系数自耦合KdV方程组模型的解析解研究》文中进行了进一步梳理非线性科学问题广泛存在于自然科学和社会科学的各个领域,而非线性发展方程是描述非线性科学问题的重要数学模型.通过对非线性发展方程的求解和定性分析的研究,有助于弄清复杂现象在非线性作用下的规律,合理解释相关的自然现象.在本文中,基于浅水波KdV方程提出了三类变系数自耦合KdV方程组,通过运用扩展的Jacobi椭圆函数展开法和扩展的形变映射方法求解了这三类方程组,获得了如下结果：首先,将扩展的Jacobi椭圆函数展开法应用于两类线性项对称自耦合KdV方程组,获得了这两类耦合方程组的孤波解与周期波解.在求解过程中,我们发现,对于一阶线性项对称自耦合KdV方程组,为了能顺利地求出方程组的解,方程组的变系数必须满足一定的线性关系,而对于高阶线性项对称自耦合KdV方程组,在求解过程中方程组的系数可以没有任何限制.然后,将扩展的变系数形变映射方法应用于一类变系数非线性项非对称自耦合KdV方程组中,通过对求解过程中获得的非线性微分代数方程组求得了几组特解,进而获得了这类变系数非线性项自耦合KdV方程组的Jacobi椭圆函数解,类冲击波解,类孤立子解和类三角函数周期解;通过选取适当的参数值,得到了方程组其他形式的精确解.
林晔智[5]（2013）在《非线性微分系统解析解的符号计算研究》文中研究表明数学机械化研究是我国数学家吴文俊先生于上世纪70年代末开始倡导的一个研究领域.国际上在上世纪80年代就积极推进基于符号的计算机处理方法,发展利用计算机进行分析、演算和推理的理论与实践,随之也先后诞生了几个优秀的符号计算软件,如Reduce、MACSYMA、Mathematica和Maple等.特别是Mathematica和Maple已经在数学和工程领域中被广泛使用.我国在该领域的应用研究（尤其是计算软件）起步较晚,目前水平也远远落后于西方发达国家.因而,国家十二五发展规划将计算软件列为重点支持的研究方向.科学研究和工程技术中很多问题的研究,最终都可以归结为非线性微分方程的求解问题.因此,非线性微分方程的解法研究始终是数理科学中核心的课题.本文以微分方程为研究对象,在吴文俊数学机械化思想的指引下,主要研究构造非线性微分方程（特别是非线性微分初、边值问题）解析解的机械化算法,进而研发自动推导非线性微分系统特定类型解析解的软件包.本文的创新之处在于首次将双重分解法及二步分解法等嵌入到经典的Adomian分解法中,发展出构造非线性微分初、边值问题解析近似解的新算法,并研制出相应的符号推演软件包.具体工作如下：1.解析近似解Adomian分解法是构造非线性微分系统解析近似解的有效方法之.该方法因其计算过程简单且能求解强非线性问题,被广泛应用于各种非线性问题的求解中.在经典Adomian分解法的基础上,Adomian及其合作者还提出了改进的Adomian分解法、加速的Adomian分解法、二步分解法、双重分解法等.特别是由Adomian和Rach发展起来的双重分解法,可大大简化求解非线性微分边值问题的计算过程.二步分解法的实质是在经典分解法的基础上增加了尝试构造微分方程精确解的环节.2008年Rach借助于截断算子重新定义了Adomian多项式,其新算法不仅涵盖了已有的Adomian多项式计算算法,而且新算法的计算效率明显提高.本文基于Rach的新算法、二步分解法和Pade近似技术,提出了构造非线性微分初值问题解析近似解的ADM-Pade新算法；并将双重分解法嵌入到求解初值问题的ADM-Pade算法中,进而提出了构造非线性微分边值问题解析近似解的新算法.然后将这两个算法推广到分数阶微分方程情形.在上述三个新算法的基础上,本文还在计算机代数系统Maple平台下研发了软件包ADMP该软件包可自动推导出非线性微分初、边值问题（包括分数阶非线性微分初、边值问题）的解析近似解.该软件包对具有Robin等复杂边界条件的非线性微分系统和具有分数阶初始条件的非线性微分系统同样也有效.2.精确解：不变子空间方法是构造非线性微分方程精确解的有效方法之一.本文应用不变子空间方法构造了一个一维反应扩散方程的精确解,并深入分析了其行为特征.在一维方程不变子空间的基础上,由二维反应扩散方程的特征,进一步构造出二维方程的不变子空间,从而获得了二维反应扩散方程的精确解.最后,通过斑图和时空序列图,成功解释了一系列自然现象.不变子空间方法的原理虽然简单,但是其计算过程相当繁复.本文也在Maple平台下完全实现了不变子空间方法,其中包括软件包ISM.它可以自动推导出输入方程的精确解和相应的参数约束条件,现己成功求解了三十多个非线性微分方程.需要注意的是,利用该软件包还可推导出输入方程一系列的特解,其中包括多项式解、有理函数解、三角函数解、指数函数解及不同函数的混合型解,如文中（4.72）表示的complexitions解就是由指数函数与三角函数混合表达的,又如文中（4.25）表示的positons解就是由不同三角函数混合表达的解等等.
樊涛[6]（2012）在《同伦分析方法在边界层流动及纳米流体流动问题之应用》文中认为在科学和工程中有着广泛应用的边界层流动问题是流体力学中一个重要的研究领域，尽管经过了近百年的发展，至今还有很多研究者对该领域的各类问题开展研究。而纳米流体这一新兴课题，由于其潜在的应用前景，近几年来吸引了越来越多的研究者对其进行研究。无论是边界层流动问题，还是纳米流体流动问题，从计算的角度来看，都可以归类于对某些非线性微分方程的求解。如何有效地求解这些非线性问题是理论研究者面临的一个巨大挑战。非线性微分方程的精确解有助于我们洞察所研究非线性现象的内部结构，剖析事物之间的关系，对所观测的各种物理现象进行合理的解释。然而，大多数非线性问题的精确解很难得到，在这种情况下，非线性问题的解析近似求解就变得非常重要。同伦分析方法是求解非线性微分方程解析近似解的有效方法，该方法发展至今取得了长足的进步，但仍需不断发展和完善。本论文采用同伦分析方法对边界层和纳米流体领域中一些在科学和工程上具有重要意义的新问题进行了求解。研究的具体内容分为三个方面，即边界层流动问题、纳米流动问题，同伦分析方法的优化计算。对于边界层流动问题，我们首先考察了伸缩平板上的非定常驻点流动和传热问题，此后我们对可穿透平板上由外部剪力驱动的边界层流动及传热问题进行了理论研究，并首次给出该问题关于温度分布的多解存在条件及解存在区间。对于纳米流体流动问题，我们首先求解了纳米流体中的三维拉伸平板上的边界层流动及传热问题，然后分别研究了充满纳米流体的两个无限水平、垂直平板间的对流传热问题，对于这些问题中一些重要物理量，如磨擦阻力系数，Nusselt数等，我们首次给出了这些物理量的显式近似公式，精度远远高于传统的线性回归近似公式。对于同伦优化计算问题，我们以Bonhoeffer-van der Pol（简称为BVP）模型为例，对同伦分析方法进行优化，减少计算量，提高计算效率。通过对这些非线性问题的研究，我们给出了它们在整个区间内都一致有效的高精度解析近似解，进一步验证了同伦分析方法的有效性。此外，结合所研究的非线性问题各自的特点，我们给出了一些科学的方法来计算方程的误差及确定同伦分析方法里的各种辅助参数，进一步完善了同伦分析方法。以上研究进一步验证了同伦分析方法求解非线性问题的能力，充分展示了该方法不依赖于物理小参数、可控制和调节级数解的收敛性、适用范围广、灵活度高等优点。我们期待该方法在工程和科学的新领域，新问题中能够得到更加广泛的应用。
董春焕[7]（2012）在《改进的同伦摄动法求解非线性积分方程及其收敛性分析》文中研究表明非线性方程是对自然规律的近似描述，而数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都可以归结为非线性积分方程问题，但是，只有极少部分的非线性问题才有解析解，绝大部分非线性问题无法获得精确的解析解。因此求解非线性积分方程近似解显得非常重要，并具有重要的实际意义。近几十年来，学者们提出了很多种求解非线性积分方程的数值方法，如Adomain分解法、投影法、变分迭代法、泰勒展开法、勒让德小波方法、同伦摄动法等等。同伦摄动法是何吉欢教授于1998年首次提出的，该方法结合了传统的摄动方法及同伦技术。大多数情况下，应用该方法可以得到方程（组）快速收敛的级数解，通常级数解的少数几项就能很好的逼近真解，这种方法已经应用到很多领域。但是对同伦摄动法的研究存在不足：（1）由于算子是否为压缩算子不容易验证，因此到目前为止，还没能对其收敛性给出严格的证明。只是有人指出，可以使用压缩影像原理证明方法的收敛性。（2）对某些强非线性问题，同伦摄动法不收敛。因此本文的目的是改进同伦摄动法，使其在求解强非线性问题时依然收敛，并给出严格的收敛性证明。本文的主要研究内容如下：（1）介绍同伦摄动法并对其做出改进，以求解第二类二维Fredholm积分方程；（2）针对同伦摄动法求解强非线性方程不收敛的缺点，提出基于区间划分的改进算法，并在C空间中利用M判别法给出了改进算法严格的收敛性证明，同时得到了近似解的误差估计；（3）应用直接法与改进的同伦摄动法相结合求解另一种形式的非线性Volterra-Fredholm积分方程；数值实验结果表明，同伦摄动法是求解非线性积分方程众多方法中一种快速有效简单的数值方法。
套格图桑[8]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中进行了进一步梳理1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
高原[9]（2009）在《若干非线性数学物理问题的解析和数值研究》文中认为在线性理论日臻完善的今天，非线性数学物理问题愈发为科学家所关注。无论是基础科学还是工程技术领域，研究者面对的大多是复杂的非线性问题。如何处理这些问题是对数学家和物理学家的重大挑战。本论文的主要工作沿两条线索展开：一方面，充分利用一些现有的数学工具研究几个重要的非线性模型，得到一些新颖的结果；另一方面，根据对一些已有严格解方法和近似方法的总结和反思，提出一种研究非线性数学物理问题的新型近似方法本文第一章作为绪论部分概括地介绍了非线性科学的内涵、意义和研究现状，重点介绍了本论文涉及的一些非线性问题和非线性方程的数学及物理背景，概述了研究非线性数学物理问题的主要数学工具及其发展历程，同时阐明了本论文的主要工作第二章从流体力学的基本模型β面上的无辐散正压位涡方程出发，推导出变系数KdV方程及变系数mKdV方程；从另一个研究分层流体的基本方程二层流体模型出发，推导出耦合变系数mKdV方程，然后通过构造这些变系数方程的严格解充分阐释了大气系统中一种重要的非线性现象—大气阻塞产生、发展和衰减的动力学机理。在这一章里，基于多重尺度展开法，我们提出了一个新的推导变系数近似方程的系统方法。同时，为了严格求解推导出的变系数方程，我们发展了一种在变系数方程和相应的常系数方程之间建立Backlund变换的直接方法。该直接方法作为求解变系数方程的一个基本方法还将应用于本论文的其他章节。第三章通过施加四个合理化条件（单涡旋的局域性、短程相互作用、两体相互作用以及多涡旋的完整性），将β面上的无辐散正压位涡方程转化为一个多涡旋相互作用模型。我们充分讨论了该模型的经典李对称和守恒律，给出了模型的几种严格解，包括涡旋源解和Bessel涡旋解。利用该模型，结合孤立子理论以及数值模拟方法，我们解释了大气系统中热带气旋之间一些重要的相互作用特征，包括气旋间互旋、两个气旋在临界距离处的合并或分离、强气旋对弱气旋的吸收，以及台风对副热带高压的环绕运动。第四章利用本论文第一章发展的构造变系数方程与相应常系数方程之间Backlund变换的直接方法，严格求解了一个变系数3+1维NLS方程和一个耦合变系数1+1维NLS方程，给出了前者的孤波解和后者的向量孤波解，同时给出了这些严格解存在时变系数之间所要满足的关系。这两类方程在玻色一爱因斯坦凝聚和非线性光学领域都有重要的理论意义。同时，在这一章里，我们还利用经典李群法研究了一种和NLS方程相关的新型非线性方程一共振DS方程的对称性，并且得到了该方程的三类严格解。与第二、三、四章主要处理具体非线性问题不同，第五章则花一章的篇幅着力于方法的研究。通过对现有非线性方程研究中经常使用的一些严格解方法及近似方法进行总结和提炼，我们在同伦分析方法的基础上提出了一种新的近似方法一不敏感性同伦方法。该方法通过建立线性或非线性同伦，将难以直接求解的原始模型和一个有严格解的简化模型联系起来，并且引入控制收敛的辅助参数，从而不依赖小的微扰参量即可得到原始模型的高精度近似解。与同伦分析法相比，一方面，该方法突破了线性同伦的局限，展示出完全可以用非线性同伦连接原始模型和简化模型；另一方面，明确给出了一个指导确定合理辅助参数的原则——不敏感性原理，并且通过构造不敏感量，给出了确定辅助参数以提高近似解精度的具体步骤。该方法的有效性通过非线性微分方程的求解和非简谐振子能量本征值的计算得到了检验，它既可以作为近似求解非线性方程的工具，也可作为物理学中一种有效的非微扰方法来使用。第六章对论文的主要内容进行了总结和讨论，并且对未来工作可能的新发展和新方向做了展望。
王燕[10]（2010）在《对某类变系数非线性发展方程精确解的讨论》文中指出本文以探究非线性发展方程精确解的孤子理论为依据,在导师孙福伟教授的指导下,研究了在诸多自然科学领域有着广泛应用的低维变系数非线性发展方程与高维变系数非线性耦合方程求解精确解尤其是精确孤立波解的方法。论文第一章介绍国内外非线性科学中孤立子理论研究的历史与发展,重点简述求解非线性发展方程精确解的几种主要方法及该方法在国内外的研究现状。论文第二章第一部分详述Painleve分析方法在国内外的发展情况和用它求解非线性发展方程精确解的具体步骤,第二部分将Painleve分析方法用于研究非线性发展方程精确解的前沿领域之一：变系数非线性发展方程,以变系数KdV-Burgers方程为实例,求解变系数KdV-Burgers方程的精确解表达式及Backlund变换,并通过形象的、简单易行的图示描述由此变系数非线性发展方程所确定的精确孤立波解。论文第三章在理解第二章研究成果的基础上,继续探究非线性发展方程应用的高新技术领域：变系数、高维、耦合系统,继续用Painleve分析方法求解高维变系数非线性耦合方程的精确解,以有背景相互作用的2+1维变系数非线性Schodinger耦合系统为典型,求解出该变系数高维耦合系统的精确解表达式及Backlund变换,分析由此高维变系数耦合方程所确定的精确解,同样以图示方式阐释其中的精确孤立波解,深化用Painleve分析方法求解高维、变系数、耦合非线性系统精确解的研究。论文第四章总结研究成果,分别指出第二章、第三章用Painleve分析方法处理变系数、高维、耦合等这些非线性发展方程研究中的复杂问题时的物理理论根源,解释据此所采取的数学解决方法的变通与改进,分析在综合以上复杂问题时所能确定出的精确孤立波解的物理意义,延伸求解非线性发展方程精确解中对孤立子理论的探讨,挖掘课题研究中的独立创新及缺点不足,展望非线性科学发展的前景。
二、幂级数形变映射法求5阶KdV方程的精确解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、幂级数形变映射法求5阶KdV方程的精确解（论文提纲范文）
（1）解析逼近方法和谱方法中几类问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 Adomian分解法 |
| 1.1.2 同伦分析方法 |
| 1.1.3 谱方法 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 文章结构 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 重要不等式 |
| 1.4.2 二元函数的低秩逼近 |
| 1.4.3 Poisson和定理 |
| 2 Adomian分解法的原理 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Lyapunov's人工小参数法 |
| 2.3 Adomian分解法算法原理 |
| 2.4 小结 |
| 3 带有收敛加速参数的解析逼近方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 AMP算法 |
| 3.3 AMP的应用 |
| 3.3.1 非线性热变换问题 |
| 3.3.2 非线性悬臂梁静电NEMS模型 |
| 3.3.3 非线性Burgers方程 |
| 3.3.4 非线性正则长波方程 |
| 3.4 小结 |
| 4 2n阶Lidstone微分方程解的存在唯一性和误差估计 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 2n阶线性微分方程 |
| 4.3 2n阶非线性微分方程 |
| 4.4 应用例子 |
| 4.5 小结 |
| 5 半无限区域上加速收敛的有理Chebyshev谱方法 |
| 5.1 半无限区域上有理Chebyshev谱方法 |
| 5.2 加速收敛途径:映射 |
| 5.3 应用:Thomas-Fermi方程 |
| 5.3.1 问题描述 |
| 5.3.2 系数的复渐近 |
| 5.3.3 迭代和消元 |
| 5.3.4 去初始点平方根奇异性 |
| 5.3.5 解的渐近表达式 |
| 5.3.6 恒等映射 |
| 5.3.7 二次映射 |
| 5.3.8 Sinh映射 |
| 5.3.9 有理Chebyshev谱方法的比较 |
| 5.3.10 Fourier区域截断法 |
| 5.3.11 Newton-Kantorovich迭代失效的情况 |
| 5.3.12 数值结果 |
| 5.4 小结 |
| 6 多元Fourier和Chebyshev级数的最优截断 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 谱系数的包络函数 |
| 6.3 双曲坐标 |
| 6.4 截断和最优截断 |
| 6.5 几类函数的最优截断 |
| 6.6 强各向异性和长方形截断 |
| 6.7 Poisson和及最优截断 |
| 6.8 双曲坐标中的Fourier逆变换 |
| 6.9 数值例子 |
| 6.10 球面、三角形和圆盘上的最优截断 |
| 6.10.1 球面 |
| 6.10.2 三角形 |
| 6.10.3 圆盘 |
| 6.11 小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 创新点 |
| 7.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（2）同伦分析法求解非线性偏微分方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文主要内容 |
| 2 同伦分析法 |
| 2.1 同伦概念简介 |
| 2.2 同伦分析法基本思想 |
| 2.2.1 零阶形变方程 |
| 2.2.2 高阶形变方程 |
| 2.2.3 基本原则 |
| 2.2.4 收敛控制参数的选取 |
| 3 Ostrovsky方程的同伦近似解 |
| 3.1 Ostrovsky方程的周期解 |
| 3.2 Ostrovsky方程的孤立波解 |
| 3.3 实例分析 |
| 3.3.1 周期解 |
| 3.3.2 孤立波解 |
| 3.4 小结 |
| 4 Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程的同伦近似解 |
| 4.1 同伦分析解 |
| 4.2 实例分析 |
| 4.3 小结 |
| 5 带初值的Sharma-Tasso-Olver方程的同伦近似解 |
| 5.1 同伦分析解 |
| 5.2 结果分析 |
| 6 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读研期间发表的论文情况 |
（3）几类分数阶微分方程的解（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 文章的结构安排 |
| 2 含Laguerre导数的分数阶微分方程初边值问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 分数阶微积分的定义及性质 |
| 2.1.2 Laguerre导数定义及性质 |
| 2.2 含Laguerre导数的分数阶微分方程初边值问题 |
| 2.3 小结 |
| 3 同伦分析法求分数阶微分方程的解析解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 同伦分析法求解分数阶微分方程边值问题(BVP) |
| 3.3 同伦分析法求解分数阶微分方程初值问题(IVP) |
| 3.4 小结 |
| 4 DGJ方法和HPM方法求解分数阶微分方程的初边值问题 |
| 4.1 同伦摄动法(HPM)求解分数阶微分方程的初边值问题 |
| 4.2 DGJ法求解分数阶微分方程的初边值问题 |
| 4.3 小结 |
| 5 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（4）三类变系数自耦合KdV方程组模型的解析解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性发展方程的研究方法及其现状 |
| 1.2 KdV方程的研究进展 |
| 1.3 本文的研究内容 |
| 第2章 两类变系数线性项对称自耦合KdV方程组的孤立波解 |
| 2.1 扩展的 Jacobi 椭圆展开法 |
| 2.2 一类变系数一阶线性项对称自耦合KdV方程组的孤立波解 |
| 2.3 一类变系数高阶线性项对称自耦合KdV方程组的孤立波解 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 一类变系数非线性项非对称自耦合KdV方程组的孤立波解 |
| 3.1 扩展的变系数形变映射方法 |
| 3.2 变系数非线性项非对称自耦合 KdV 方程组的孤立波解 |
| 3.3 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文和研究成果 |
| 致谢 |
（5）非线性微分系统解析解的符号计算研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文的选题和主要工作 |
| 第二章 Adomian分解法 |
| 2.1 Adomian分解法理论基础 |
| 2.1.1 经典的Adomian分解法 |
| 2.1.2 双重分解法 |
| 2.1.3 二步分解法 |
| 2.1.4 Rach新定义的Adomian多项式算法 |
| 2.1.5 Pade近似技术 |
| 2.2 构造非线性微分初值问题的解析近似解 |
| 2.2.1 非线性微分初值问题的ADM-Pade新算法 |
| 2.2.2 应用举例 |
| 2.3 构造非线性微分边值问题的解析近似解 |
| 2.3.1 非线性微分边值问题的ADM-Pade新算法 |
| 2.3.2 应用举例 |
| 2.4 构造非线性分数阶微分系统的解析近似解 |
| 2.4.1 预备知识 |
| 2.4.2 非线性分数阶微分系统的ADM-Pade新算法 |
| 2.4.3 应用举例 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 解析近似解的自动推导软件包 |
| 3.1 软件包ADMP的实现细节 |
| 3.2 软件包ADMP的应用接口 |
| 3.3 软件包ADMP的使用说明 |
| 3.4 应用举例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 不变子空间方法 |
| 4.1 不变子空间方法的理论基础 |
| 4.2 基于不变子空间方法构造反应扩散方程的精确解 |
| 4.2.1 构造一维反应扩散方程的精确解 |
| 4.2.2 构造二维反应扩散方程的精确解 |
| 4.3 不变子空间方法和软件包ISM |
| 4.3.1 构造非线性演化方程精确解的算法 |
| 4.3.2 软件包ISM的接口和功能介绍 |
| 4.4 应用举例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在读期间发表或将到发表的学术论文情况 |
| 在读期间参与的科研项目情况 |
（6）同伦分析方法在边界层流动及纳米流体流动问题之应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 同伦分析方法 |
| 1.2.1 方法的提出及发展 |
| 1.2.2 方法的应用现状 |
| 1.3 纳米流体研究概述 |
| 1.4 本论文的研究目的及意义 |
| 1.5 本论文的主要工作 |
| 1.6 本论文的主要创新 |
| 第二章 伸缩平板上的非定常驻点流动和热传导 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数学描述 |
| 2.3 同伦分析方法 |
| 2.4 结果分析 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 可穿透平板上的热边界层流动 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 控制方程及性质 |
| 3.3 同伦分析方法 |
| 3.4 结果分析 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 浸在纳米流体中的拉伸平板上的磁流体流动及传热 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数学描述 |
| 4.3 渐近分析 |
| 4.4 求解技术 |
| 4.5 结果分析 |
| 4.6 小结 |
| 第五章 两无限大水平平板间的纳米流体流动及传热 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数学模型 |
| 5.3 同伦分析方法 |
| 5.4 结果讨论 |
| 5.5 小结 |
| 第六章 两无限大垂直平板间的纳米流体流动及传热 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 数学模型 |
| 6.3 求解技术和误差分析 |
| 6.4 结果分析 |
| 6.5 小结 |
| 第七章 同伦分析方法的一些改进 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 同伦分析方法 |
| 7.2.1 零阶形变方程 |
| 7.2.2 高阶形变方程 |
| 7.3 结果和讨论 |
| 7.4 结论 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 总结 |
| 8.2 展望 |
| 附录 A Keller Box 方法求解驻点流动问题 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间撰写的学术论文目录 |
（7）改进的同伦摄动法求解非线性积分方程及其收敛性分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题来源及背景 |
| 1.2 积分方程概述 |
| 1.2.1 积分方程起源 |
| 1.2.2 积分方程概念及分类 |
| 1.3 V-F方程研究现状 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第2章 同伦摄动法求解二维FREDHOLM方程 |
| 2.1 同伦摄动法简析 |
| 2.2 第二类二维FREDHOLM积分方程 |
| 2.3 改进的同伦摄动法求解FREDHOLM积分方程 |
| 2.3.1 方程（2-11）的真解 |
| 2.3.2 方程（2-6）的真解 |
| 2.4 数值算例 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 改进的同伦摄动法求解V-FIE |
| 3.1 引言 |
| 3.2 改进的同伦摄动法 |
| 3.3 方程（3-8）收敛性证明 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 直接法结合同伦摄动法求解V-FIE |
| 4.1 引言 |
| 4.2 直接法 |
| 4.3 方程（4-1）的真解 |
| 4.3.1 方程（4-1）的变形 |
| 4.3.2 改进的同伦摄动法 |
| 4.3.3 方程（4-14）收敛性证明 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（8）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
（9）若干非线性数学物理问题的解析和数值研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性问题研究概述 |
| 1.2 若干重要的非线性数学物理方程及其应用 |
| 1.2.1 KdV方程与mKdV方程 |
| 1.2.2 NS方程与Euler方程 |
| 1.2.3 NLS方程与DS方程 |
| 1.3 非线性数学物理问题的主要研究手段 |
| 1.3.1 严格解方法 |
| 1.3.2 近似方法 |
| 1.4 本论文的选题与主要工作 |
| 第二章 变系数非线性方程的孤波解与大气阻塞现象 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 变系数KdV方程与偶极阻塞 |
| 2.2.1 从正压位涡方程导出变系数KdV方程 |
| 2.2.2 变系数KdV方程的严格解和偶极阻塞 |
| 2.3 变系数mKdV方程与单极阻塞 |
| 2.3.1 从正压位涡方程导出变系数mKdV方程 |
| 2.3.2 变系数mKdV方程的严格解和单极阻塞 |
| 2.4 耦合变系数mKdV方程与多层阻塞 |
| 2.4.1 从二层流体模型导出耦合变系数mKdV方程 |
| 2.4.2 耦合变系数mKdV方程的相似约化 |
| 2.4.3 耦合变系数mKdV方程的严格解 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 大气系统中的涡旋相互作用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 涡旋相互作用模型的导 |
| 3.3 涡旋相互作用模型的解析性质 |
| 3.3.1 对称性 |
| 3.3.2 守恒律 |
| 3.3.3 涡旋源解和Bessel涡旋解 |
| 3.4 涡旋相互作用的几种类型 |
| 3.4.1 一个涡旋的演化 |
| 3.4.2 两个相等热带气旋的相互作用 |
| 3.4.3 不同强度和半径的热带气旋之间的相互作用 |
| 3.4.4 台风和副热带高压的相互作用 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 变系数NLS型方程与共振DS方程的严格解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 变系数3+1维NLS方程的孤波解 |
| 4.3 耦合变系数NLS方程的向量孤波解 |
| 4.3.1 耦合变系数NLS方程与Backlund变换 |
| 4.3.2 双势阱中的向量孤波解 |
| 4.4 共振DS方程的对称性分析及严格解 |
| 4.4.1 经典李对称 |
| 4.4.2 相似约化 |
| 4.4.3 共振DS方程的严格解 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 不敏感性同伦方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 不敏感性线性同伦方法 |
| 5.2.1 一个可以严格求解的例子 |
| 5.2.2 非线性摆 |
| 5.2.3 四次方非简谐振子 |
| 5.3 不敏感性非线性同伦方法 |
| 5.3.1 六次方非简谐振子 |
| 5.3.2 非厄米哈密顿系统 |
| 5.4 本章小节 |
| 第六章 总结、讨论和展望 |
| 附录A |
| 附录B |
| 附录C |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（10）对某类变系数非线性发展方程精确解的讨论（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 摘要 |
| 1.1 非线性发展方程 |
| 1.2 孤立子理论的研究与发展 |
| 1.3 求解非线性发展方程精确解的若干方法 |
| 第二章 变系数KdV-Burgers方程的精确解及其Backlund变换 |
| 2.1 构造非线性发展方程精确解的Painleve方法 |
| 2.2 变系数KdV-Burgers方程的精确解Backlund变换 |
| 第三章 2+1维变系数非线性Schrodinger耦合方程的精确解及Backlund变换 |
| 3.1 非线性Schrodinger方程的研究现状 |
| 3.2 变系数非线性Schrodinger耦合方程的精确解及其Backlund变换 |
| 第四章 结论 |
| 参考文献 |
| 在校研究成果 |
| 致谢 |
四、幂级数形变映射法求5阶KdV方程的精确解（论文参考文献）
- [1]解析逼近方法和谱方法中几类问题研究[D]. 张晓龙. 大连理工大学, 2019(01)
- [2]同伦分析法求解非线性偏微分方程[D]. 江月. 江苏大学, 2016(08)
- [3]几类分数阶微分方程的解[D]. 许莉莉. 河南理工大学, 2015(09)
- [4]三类变系数自耦合KdV方程组模型的解析解研究[D]. 胡东坡. 云南师范大学, 2013(04)
- [5]非线性微分系统解析解的符号计算研究[D]. 林晔智. 华东师范大学, 2013(10)
- [6]同伦分析方法在边界层流动及纳米流体流动问题之应用[D]. 樊涛. 上海交通大学, 2012(02)
- [7]改进的同伦摄动法求解非线性积分方程及其收敛性分析[D]. 董春焕. 哈尔滨工业大学, 2012(04)
- [8]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [9]若干非线性数学物理问题的解析和数值研究[D]. 高原. 上海交通大学, 2009(04)
- [10]对某类变系数非线性发展方程精确解的讨论[D]. 王燕. 北方工业大学, 2010(08)