一、求解大型对称不定线性方程组Lanczos算法收缩技巧（论文文献综述）
刘瑞[1]（2020）在《图拉普拉斯矩阵特征值问题的数值算法》文中认为拉普拉斯矩阵是图的一种矩阵表示,众多基于图方法的应用问题,如聚类、组合优化等,都与相应的拉普拉斯矩阵特征值问题密切相关,这类问题在社交网络分析、图分割和复杂网络等领域发挥着越来越重要的作用.产生于这些实际问题的拉普拉斯矩阵往往因为规模庞大而使得相应的特征值问题求解困难,因此针对大规模拉普拉斯矩阵特征值问题的快速算法研究具有重要意义.本文研究内容主要包括两部分.第一部分研究非连通图对应的拉普拉斯矩阵零特征空间与图连通分量的关系并给出相关理论证明,设计基于零特征空间的图连通分量分割算法,并通过数值实验验证该算法的可行性;在此基础上还通过数值实验探究非零特征值及其相应特征向量在弱连接连通图分割上的应用.第二部分研究连通图对应的拉普拉斯矩阵几个最小正特征值及其相应特征向量的快速求解算法,本文结合Deflation,Trimming和预处理等技巧设计了高效的位移求逆残差Arnoldi算法（shift-invert residual Arnoldi,简称SIRA）;通过大量数值实验确定最佳Trimming索引选取策略;对迭代过程中出现的大规模线性方程组分别运用预优共轭梯度（PCG）和极小残差法（MINRES）等方法求解,并比较Jacobi,SSOR,iLDLT和多网格组合型预处理（Combinatorial MultiGrid,简称CMG）等四种预处理的实验结果确定最佳预优算子为CMG;最后在数值实验中将SIRA与其他两种已有算法进行比较以验证所提算法的高效性.本文所提算法对基于图方法的聚类等问题具有重要实用价值.
李瑞霞[2]（2020）在《几类离散非线性偏微分方程及其约束优化问题的迭代解法》文中研究说明科学计算和工程应用中的大多数实际问题,如相分离过程,PDE约束优化问题,不可压缩动力流问题等,都可归结为线性或非线性偏微分方程的求解问题.由于很难求得这些问题的解析解,且有的在经典意义下甚至是没有解的,数值求解就成为了主流且比较常用的方法,已渗透到物理、化学、生物等现代科学与工程的诸多领域,对科技的发展起着重要作用.利用数值方法离散这些实际问题模型,将原方程的求解转化为离散线性代数方程组的求解是数值近似的主要思想.这些线性系统依据不同的问题模型具有不同的结构特点,如算子性质导致的系数矩阵的分块结构或病态特性,离散格式导致的大型稀疏结构等.如何根据线性系统本身的结构特点设计高效、经济且稳健的数值解法,是现代科学和工程计算研究的焦点之一,在数值代数研究领域占据十分重要的地位.本文主要研究具有三类应用背景的非线性偏微分方程及一类PDE约束优化问题离散线性化所产生的代数系统的快速数值解法.针对不同问题模型离散得到的线性系统的结构特点,采用预处理技术设计一系列高效、经济、稳健的迭代算法.全文共有六章内容:第一章详细介绍课题的研究背景、研究意义以及研究现状,并简要介绍本文的主要研究内容和创新点.第二章主要研究由一类非局部Cahn-Hilliard方程离散得到的线性系统的数值求解方法.针对离散得到的含有不定矩阵的2 × 2分块结构的线性系统的求解,设计了一类高效的预处理子.该预处理子的主要特色是:不涉及不定矩阵的运算;相应预处理系统的特征值全是实的;在与已有的预处理子具有相同特征值的前提下,其算法实现过程只涉及两个相同的对称正定子线性系统的求解,体现其更加经济高效的特点.最后通过数值实验验证本章节所提出的预处理子的高效性及稳定性.第三章主要研究由非局部Cahn-Hilliard方程作为约束方程的最优控制问题经数值离散得到的线性系统的快速求解方法.针对由约束优化问题离散得到的4 × 4分块结构的线性系统,通过适当的变形将其转化为系数矩阵具有特殊结构的等价线性系统.利用变形后系数矩阵的结构特点,提出了一个关于网格尺寸和模型参数鲁棒的快速求解器来求解离散的线性系统.证明了预处理矩阵的所有特征值都是正实的.详细分析了特征值的分布区间并绘制了特征值分布图,表明预处理矩阵的特征值分布在[1/2,1]这个与参数无关的区间内.最后通过数值实验说明所提出的预处理子在加速Krylov子空间方法时的高效性和鲁棒性.第四章主要研究由FitzHugh-Nagumo对流扩散反应方程离散得到的线性系统的数值求解方法.以间断有限元方法离散得到的2 × 2分块结构的线性系统的求解为出发点,设计了一类结构预处理子.该预处理子的构造动机在于,降低来源于非线性项的不定Jacobian矩阵对线性系统求解造成的影响,从而提升线性系统的计算效率.算法实现表明,该预处理子只需求解两个以质量矩阵加上刚度矩阵为系数矩阵的子线性系统,不涉及来源于非线性项的不定Jacobian矩阵的运算.分析了预处理系统的谱性质,并通过数值算例验证所提出的预处理子在加速Krylov子空间方法时的经济性.第五章主要研究由不可压缩稳态Navier-Stokes方程离散导出的广义鞍点线性系统的快速求解方法.通过引入正则矩阵,提出了一类基于矩阵分裂的正则分裂迭代方法及正则分裂预处理子.给出了预处理子的算法复杂性比对,表明正则矩阵的引入在一定程度上能够改善求解过程中涉及到的子线性系统的条件数.证明了所提出的迭代方法具有无条件收敛的性质.研究了预处理矩阵的谱聚集性质.基于正则分裂预处理子,进一步提出了松弛形式的预处理子,并分析了松弛之后预处理矩阵的特征性质.最后通过数值例子验证所提出的预处理子的有效性.第六章对全文做简要总结并对未来的工作安排进行展望.
于鑫鹏[3]（2019）在《矩阵逆的逼近及其在线性方程组预处理技术中的应用》文中研究表明在工程科技和科学计算中,许多实际问题都需要对矩阵的逆进行求解。由于直接求解矩阵的逆有时会非常复杂或者几乎不可能,因此寻找一种迭代格式使得在求矩阵的逆的时候只需要计算矩阵与矩阵的乘积则非常重要。其次,很多实际问题都可以转化成对线性方程组的求解,由于一些线性方程组的系数矩阵的条件数很大或者接近奇异,因此对线性方程组进行预处理是非常必要的。在引言部分主要介绍了矩阵求逆的应用和线性方程组预处理技术的国内外现状以及主要研究工作。第一章是预备知识,首先说明了本文常见的符号,其次对矩阵分裂技术、共轭梯度法和GMRES方法进行了介绍,最后对牛顿迭代法和切比雪夫迭代法的迭代格式进行了介绍。在第二章的前四节给出了逼近逆矩阵的四类迭代格式,并在数值案例中介绍了以上四类迭代格式初值的选取方式,并证明了合适的初值选取可以提高逼近矩阵逆的运算精度、减少其运算时间。在第三章首先介绍了预优共轭梯度法和预处理GMRES方法,其次将第二章的四类迭代格式选取适当的迭代步数得到的矩阵分别作为预优共轭梯度法和预处理GMRES方法的预处理子,通过数值实验表明如上两种策略分别相对于共轭梯度法和GMRES方法有一定的加速作用。
蒋祥龙[4]（2019）在《网页排序的子空间算法和随机Kaczmarz算法及其应用》文中指出线性方程组的求解问题一直是国内外研究的重要领域.现代许多科学计算与工程应用问题往往需要求解大型稀疏线性方程组,实际应用问题的复杂性往往导致最终所得到的线性方程组不仅会出现维数比较高的情况,而且得到的系数矩阵的形式和性质也会各不相同.本文主要研究网页排序的PageRank问题和用随机Kaczmarz方法求解大型稀疏线性方程组的数值算法问题,并将改进的随机Kaczmarz重构算法应用到压缩感知信号重构的计算问题中.所做工作的内容具体概括如下:1.在网络排序PageRank问题中,当阻尼因子α接近于1时,现存的数值算法的收敛速度往往会变慢.针对这种情况,作者做了两方面的研究工作.第一方面,作者利用深度重启的Arnldi过程和多步分裂迭代方法,给出了一种预处理的多步分裂迭代算法,并对其收敛性给出了分析和证明,同时给出了相关的数值算例.第二方面,在利用Arnoldi过程计算PageRank问题时,作者发现当阻尼因子α充分接近于1时,收敛的残差曲线会出现不规则的跳动甚至不收敛的情况,通过分析原因,作者提出了 GMRES-Power方法.给出的数值实验验证了理论分析的结果,并表明该算法的数值有效性.2.2009年提出的随机Kaczmarz算法和2018年提出的贪婪随机Kaczmarz算法是求解大型系数线性方程组的两个有效方法.基于这两个算法,作者给出了两种改进算法.第一个改进算法:基于贪婪随机Kaczmarz方法,通过充分地利用贪婪随机Kaczmarz算法在每次迭代所计算出的残差信息,作者提出了一种多步贪婪随机Kaczmarz方法,并证明了算法的收敛性.给出的数值算例验证了该算法的有效性.第二个改进算法:依据松弛随机Kaczmarz算法,作者给出了一种多步自适应的松弛随机Kaczmarz方法,并证明了算法的收敛性,给出的相关数值算例验证了该算法的有效性.3.随机稀疏Kaczmarz算法是求解压缩感知中信号重构问题的一种有效算法.作者利用多步自适应松弛随机Kaczmarz方法提出了一种自适应贪婪随机稀疏Kaczmarz算法,并将其应用到信号重构问题的数值计算中.给出的具体图像数值实验表明,作者提出的新算法要比随机稀疏Kaczmarz算法不仅在收敛速度上快许多,而且运算的CPU时间也要少很多.
向燕菲[5]（2019）在《一类Krylov子空间方法的加速算法研究》文中研究说明在某些特殊情况下,Krylov子空间方法的残量下降曲线会出现不稳定的现象,如停滞现象,不规则振荡现象等,从而严重影响到Krylov子空间方法的收敛速度。本文以带多右端项的大规模稀疏线性系统为研究对象,针对上述不稳定问题提出两类用于求解对称正定线性系统的新型算法:带自适应重新启动过程的免中断块共轭梯度（Adaptive Restart procedures for the Breakdown-Free Block Conjugate Gradient,简称AR-BFBCG）算法,基于投影的收缩块共轭梯度（Projected variant of the Deflated Block Conjugate Gradient,简称PD-BCG）算法。详细的研究内容与主要成果如下:提出了一种自适应重启的AR-BFBCG方法。基于Powell在1977年针对共轭梯度算法提出的重新启动过程（后命名为:Powell’s restart）,以及Dai等人于2004年在Powell’s restart基础上的工作,我们将这种重新启动过程推广并应用到求解带多右端项线性方程组的块共轭梯度（Block Conjugate Gradient,简称BCG）算法中。同时,结合Ji等人在2017年提出的免中断块共轭梯度（Breakdown-Free Block Conjugate Gradient,简称BFBCG）算法,提出AR-BFBCG方法用于求解带多右端项的对称正定线性系统。该方法继承了Powell’s restart的优点,可通过重启帮助消除BCG方法中出现的残差收敛行为不规则的现象,进而提高BCG的收敛速度。同时保留了BFBCG方法中免秩亏损的优点,可避免带重启的BCG方法在执行中可能会出现由秩亏损而导致的算法中断问题。数值试验表明,这类方法可有效“打破”残差收敛行为中的不规则现象,从而在一定程度上减少计算量,提高BFBCG算法的收敛速度。此外,在求解病态系统,或带秩亏损的多右端项线性系统时,该方法的数值优越性更加明显。设计了一种基于投影的PD-BCG方法。Chen在2011年提出收缩块共轭梯度（Deflated Block Conjugate Gradient,简称D-BCG）算法,该方法可通过收缩掉极端特征值（比如小特征值）来减小预处理矩阵的条件数,从而提高BCG算法收敛速度。但在有限精度算法（finite arithmetic）框架下,残差空间与收缩空间之间的正交性会随着算法的执行而逐渐丢失,而这种正交性的丢失会明显地影响算法的稳定性,导致残量下降曲线出现长时间停滞,甚至因正交性丢失过于严重而根本无法收敛。重正交（reorthogonalization）方法可用于修复这种丢失的正交性,但是其代价相当大。基于此,我们提出了PD-BCG算法来“延缓”这种正交性的丢失,并且理论表明这种“延缓”不需要任何额外代价,同时理论还表明PD-BCG与DBCG在数学上是等价的。最后数值实验表明,PD-BCG算法能够将这种正交性保持在一定程度内,进而有效解决了收敛停滞甚至不收敛的问题,验证了其有效性与数值稳定性。
康文洁[6]（2017）在《基于F-范数最小化的稀疏近似逆预处理方法》文中认为数十年来,预处理的Krylov子空间迭代算法广泛应用于求解大型稀疏线性方程组,而稀疏近似逆预处理技术是最重要的具有普适性的预处理技术之一,本文将主要研究基于F-范数最小化的稀疏近似逆预处理技术.对于大型稀疏线性方程组Ax=b,我们提出一种基于残差的稀疏近似逆预处理技术（RSAI）.与Grote和Huckle提出的SPAI算法不同,RSAI算法只利用当前残差中主要的信息来动态地构造所要添加的指标集.为了控制预处理子M的稀疏性,我们设计出两种实用的RSAI（fix）算法以及RSAI（tol）算法.RSAI（fix）算法保留M中各列所有元素中前若干个绝对值最大的元素,并且每步循环中保留非零元素的个数以一个固定的常数递增.相反地,SPAI算法在每次循环中保留M中已经存在的非零元位置,仅仅只是向其添加几个新的非零元的位置.RSAI（tol）算法通过在循环过程中动态地舍弃掉小元素而保留M中的大元素,且当A-1中各列的非零元个数相差较大时,RSAI（tol）算法更加实用.同时,受RSAI的启发,我们也提出精化的SPAI算法.大量的数值实验表明RSAI（fix）算法,RSAI（tol）算法以及精化的SPAI算法都可以有效地加速方程组的收敛.当系数矩阵A至少含有一列相对稠密的列时,稀疏近似逆预处理技术SPAI算法以及PSAI（tol）算法构造预处理子的代价都是非常昂贵的.类似地,当系数矩阵A至少有一行相对稠密时,SPAI以及RSAI（tol）也存在相同的问题.如果一个稀疏矩阵至少有一列和一行都是相对稠密的,我们把它称为双重非规则稀疏矩阵.系数矩阵为双重非规则稀疏的大型方程组问题有着广泛的应用背景,在Florida大学的稀疏矩阵库中,24.4%的非对称实矩阵都是双重非规则稀疏的.通过利用两次Sherman-Morrison-Woodbury公式,我们提出新的转化方法,将双重非规则稀疏问题转化为若干个方程组,并且它们的系数矩阵都是双重规则稀疏矩阵,从而利用SPAI算法、PSAI（tol）算法以及RSAI（tol）算法可以容易地构造出有效的预处理子.对于新的转化方法,我们给出理论分析以及实际考虑,并且开发出实用的算法.数值实验说明,与利用SPAI算法、PSAI（tol）算法和RSAI（tol）算法对A直接构造预处理子的方法相比,提出的新方法表现出非常明显的优势.
金梅[7]（2017）在《多右端向量线性系统求解方法研究》文中研究指明随着科学技术的飞速发展,工程的不断进步,线性方程组的求解问题成为工程的核心问题。特别是在许多实际应用中需要求解大型稀疏矩阵的线性方程组。比如带有移位系统具有多右端向量的线性方程组。这类问题经常出现在量子色动力学和图像处理中。Krylov子空间方法是求解此类线性系统的常用方法之一。并且Krylov子空间方法的发展是针对多个变化的位移和多个右端向量的线性系统,同时去求解具有多右端向量和不同移位系统的线性方程组,目前常用的求解此类问题的Krylov子空间方法有块方法和逐个求解的方法。本文主要研究逐个求解对称正定矩阵多右端向量线性系统的方法。因其求解的是对称正定系统,本文的算法都是基于短递归的CG算法的研究。对于多右端向量线性系统,收缩方法的信息共享加速收敛使之成为常用方法,Andreas和Orginos提出eigCG方法,通过共享信息,收缩小特征值的特征向量,快速求解多右端向量线性系统。而对于求解多线性系统求解最常用的是一次性求解多个移位系统的方法shifted CG算法,另一种就是Chan提出的Galerkin投影方法,利用投影技术通过信息共享对其不同线性系统的右端项进行收缩,加快多线性系统求解的收敛速度。本论文研究了求解多右端向量线性系统的概况,分析了求解多右端向量线性系统的算法的优势与不足,以及分求解多移位线性系统的常用方法的优势与不足,基于eigCG算法的收缩思想与Galerkin投影算法的信息共享的方法,将eigCG算法扩充到具有移位系统的多右端向量线性系统中,提出了求解具有移位系统的多右端向量线性系统的新型Krylov子空间算法——eigCG-Proj算法。通过数值试验表明,eigCG-Proj算法,在求解多右端向量移位线性系统的时候,求解多个移位系统和求解单个移位系统的代价是差不多的。说明了新型Krylov子空间方法的可行性。
顾先明[8]（2017）在《大型线性系统与分数阶方程求解及在电磁计算中的应用》文中进行了进一步梳理科学计算中的大量问题都与如何高效地求解大型线性系统有关。如电磁散（辐）射数值仿真,材料力学中的近场动力学特征建模,模拟物质的反常（对流）扩散过程中的分数阶微分方程求解等。因此,线性方程组的高性能算法研究也成为科学计算中活跃的分支之一。通常情况下,许多工程仿真所涉及的线性方程组的系数矩阵都是具有某些特定的结构,如何科学合理地挖掘和利用这些结构性质来构造快速稳健的线性系统解法是一个重要的课题。本文针对几类具有特殊结构的大型线性方程组的高性能解法进行了系统的研究,特别是研究了复对称线性系统的Krylov子空间算法、求解具有Toeplitz矩阵结构的线性系统的预处理迭代法以及求解位移线性方程组的迭代法。研究内容与主要成果可以归纳如下:1.针对求解大型复对称线性系统问题,两种流行的Krylov子空间算法（即COCG和COCR）都是基于斜投影的原理创建的,在实际计算中常常出现不规则的收敛行为,甚至发生停滞或中断。为了改善这一数值不足,推导出两类新的Krylov子空算法,即QMRCOCG算法和QMRCOCR算法,改善了COCG算法和COCR算法法的数值行为,消除了残差收敛行为不规则的现象。最后,将新导出的两类算法应用于三组典型的电磁仿真模型问题的求解中,数值实验表明,这两种新方法可有效的平滑残差曲线,保证了数值计算的稳健性。2.对Clemens等在1996年提出的SCBiCG（Γ,n）算法的回溯研究发现,该算法实际上包含了van der Vorst和Melissen提出的COCG算法,Clemens等提出的BiCGCR算法以及Sogabe和Zhang提出的COCR算法。将SCBiCG类算法的原理等做了系统的数学阐述,证明了BiCGCR算法和COCR算法是数学上等价的,但由于后者只需要两次内积运算而略具优势。最后,通过求解三组典型的电磁计算模型问题产生的离散线性系统实验,对比了COCG,BiCGCR,COCR和SQMR四种Krylov子空间算法的数值表现。BiCGCR和COCR在数值收敛行为也非常相似,且比COCG算法的收敛行为要更平滑。此外针对准静磁场数值离散系统建立了一种两步预处理技术。数值实验证实了该预处理技术特别适合处理上述准静磁场仿真问题。3.材料科学中的近场动力学建模中常用到伪积微分方程,由于算子的非局部性,使得该类方程的数值离散产生稠密线性方程组。Tian和Wang于2013年发现了该离散线性系统具有Toeplitz结构,并利用了快速Toeplitz矩阵-向量乘法来提升CG算法的计算效率。为了提高CG算法处理该病态Galerkin离散系统的效率,本文挖掘了系数矩阵具有Toeplitz结构加对称三对角部分的信息之后改进了经典的循环预处理子,并分析了预处理矩阵的特征值几乎都聚集在1附近。最后,数值实验说明了所提出的新循环预处理子在加速CG算法的计算效率上是有效的。4.将Sogabe提出的BiCR算法和Abe及Sleijpen提出的BiCRStab算法推广到求解位移线性系统问题,并成功导出了两种新的Krylov子空间算法,即位移BiCR算法和位移BiCRStab算法。因为这两种算法法保持了Krylov子空间的位移不变性,从而在求解位移线性方程组时需要的矩阵-向量乘法个数等价于求解单个系统时的矩阵-向量乘法次数,而且新算法大大减少了计算量和存储量。数值实验表明,这两个新方法都分别比位移BiCG和位移BiCGStab算法收敛的快,而且通常比后两者具有更光滑的残差收敛行为。5.针对空间分数阶扩散方程,设计了一种新的数值求解格式。首先对分数阶扩散方程做空间半离散,将原问题转化为求解一个常微分方程组。最后利用无条件稳定的时间离散方法将离散问题转化为一个大型结构线性系统。因其系数矩阵具有Toeplitz结构,则Krylov子空间算法并不需要存储系数矩阵来快速地求解该离散线性系统。为了加快算法的收敛速度,构造了块循环（block circulant,BC）及带循环块的块循环（block circulan with circulant block,BCCB）两种预处理子。并通过理论和数值实验分析了所设计的快速算法能比较有效地处理分数阶扩散方程,同时避免经典的显隐式格式所面临的复杂稳定性分析等问题。
黄娜[9]（2016）在《电磁场与流体计算中的离散鞍点系统的预处理算法研究》文中提出电磁场与流体计算在气象学、海洋学、生物医学等科学与工程领域的重要性是不言而喻的.麦克斯韦方程组是描述电场与磁场运动的基本模型.获取该方程组的数值解在电子工程尤其是微波与天线工程领域有着重要的地位.而描述流体运动特征的基本方程则是Stokes方程和Navier-Stokes方程,所以如何有效求解Stokes方程与Navier-Stokes方程是解决流体计算问题的关键.不论是麦克斯韦方程组,亦或是Stokes方程与Navier-Stokes方程,通过有限差分法、有限体积法或有限元法离散后,均生成具有特殊结构的线性方程组,即所谓的鞍点问题.因此探讨迭代法求解鞍点问题具有重大的现实意义.本文将研究由电磁波散射问题离散生成的对称不定方程组、由时变麦克斯韦方程组离散生成的3×3块鞍点问题、由Stokes方程离散生成的非奇异鞍点问题或其等价的非对称形式、奇异的广义鞍点问题以及由Navier-Stokes方程离散生成的非线性鞍点问题的数值解法及其预处理技术，并给出数值算法的收敛性分析与预处理矩阵的特征值界的估计.具体结构如下：第一章,简要介绍利用棱单元法离散电磁波散射问题的过程,并讨论快速求解离散得到的对称不定线性方程组的方法.为了保持对称性,本章用块三角预条件子双边预处理系数矩阵,并分别给出预处理矩阵的正特征值与负特征值的上、下界.另一方面,本章还研究另一种块三角预条件子且仅作单边预处理,并分析预处理矩阵特征值实部与虚部的界.最后给出数值实验证明所提预条件子的可行性.第二章,考虑有限元离散三维Lipschitz多面体域上的带有间断系数的时变麦克斯韦方程组,并探究有效的预处理技术求解离散生成的3×3块鞍点问题.本章提出一个精确的块对角预条件子求解对称鞍点问题及其等价的非对称形式,并证明对应的预处理矩阵只有六个互不相同的特征值.为了实际应用的需要,本章还构造了一类非精确块对角预条件子.对于对称形式的方程,分别估计了预处理矩阵正特征值与负特征值的上、下界.非对称形式则分别给出预处理矩阵实特征值与复特征值的实部及虚部的界.数值算例验证所提新的预条件子的有效性与稳定性.第三章,利用混合有限元法将Stokes方程离散成线性鞍点问题.通过对离散生成的线性方程组的系数矩阵再分块,构造了求解Stokes方程离散鞍点系统的两个新的迭代法.一个是将块Gauss-Seidel方法与Uzawa迭代法相结合,我们称之为BGS-Uzawa迭代法.另一个则是在块Jacobi方法与Uzawa迭代法基础上建立了变参数的BJ-Uzawa算法.在参数满足一定的条件下,分别研究了这两种新算法的收敛性.最后给出一些数值算例,将本章所提算法与逐次超松弛方法及Uzawa方法作比较,验证这两种新算法的可行性与有效性.第四章,继续研究由Stokes方程离散生成的鞍点问题.将该鞍点问题进行巧妙的预处理,基于对预处理矩阵的分裂构造了新的预处理迭代法（简记为PTU方法）.同时在适当假设下给出了PTU方法收敛性分析以及最优参数的选取方式.然后,对PTU方法所诱导出的新的预条件子进行研究,讨论了预处理矩阵的谱性质.此外,基于PTU方法,本章还建立非线性非精确PTU迭代法,并研究了收敛性条件与最优参数的选取方式.数值实验证明本章所提的算法是有竞争力的.第五章,仍旧探讨求解Stokes方程离散鞍点系统的有效算法.本章针对该鞍点问题的非对称形式提出了一类非精确松弛退化的正定与反Hermitian分裂（RDPSS）预条件子.这类预条件子是对松弛退化的正定与反Hermitian分裂（PSS）预条件子[206]的技术改进.PSS预条件子是由文献[29]研究的用于求解非Hermitian正定线性方程组的正定与反Hermitian分裂（PSS）迭代法直接导出.数值模拟验证了所提的非精确RDPSS预条件子优于现有的一类预条件子.第六章,先对Stokes方程进行稳定化处理，再将其离散成线性广义鞍点问题.本章首先给出广义鞍点矩阵的特征值更精确的界,然后构造一类新的非奇异预条件子,证明了用广义极小残量法求解相应预处理方程时,对任意初始向量,广义极小残量法均能收敛于原问题的解且不出现中断.此外还分析了预处理矩阵的谱性质.将这些非奇异预条件子应用于求解由Stokes方程离散生成的奇异鞍点系统,通过数值实验考察这些非奇异预条件子的数值表现.第七章,直接对Navier-Stokes方程采用混合有限元离散，得到一组特殊结构的非线性方程组，即非线性鞍点问题.本章主要致力于构造求解非线性鞍点问题有效的Uzawa型算法.基于一步牛顿格式,提出两个求解该非线性方程的非线性非精确Uzawa混合算法.借助能量范数,证明了所提算法在合理假设下的收敛性.最后,通过数值实验说明所提算法的有效性。
张建华[10]（2016）在《非Hermitian线性方程组的若干迭代方法及其预处理》文中指出有效求解大规模线性方程组是科学和工程计算中的重要研究内容。本文利用Krylov子空间、矩阵分裂和预处理技术的理论与方法,研究非Hermitian线性方程组的若干迭代方法及其预处理,主要创新工作如下:对复非对称线性方程组,首先,建立了耦合二项双共轭A-双正交化过程,基于此过程,提出了一个新的拟最小残量方法（QMOR）,给出了QMOR方法的收敛性结果及其与GMRES方法残量之间的关系。为加快QMOR方法的收敛速度,给出了其双侧预处理方法。其次,为克服共轭A-正交残量平方法（CORS）残量范数收敛不规则行为,采用拟光滑技术提出了求解复非对称线性方程组的免转置拟最小残量方法（TFQMORS）,建立了TFQMORS方法与GMRES方法之间的关系及其有限终止性,并给出了TFQMORS方法收敛性结果。为加快TFQMORS方法的收敛速度,并改善其稳定性及鲁棒性,设计了双侧预处理TFQMORS方法。最后,为改善CORS方法的收敛性及其残量范数的光滑性,利用两个近似双共轭A-正交残量法（BiCOR）残量多项式的乘积代替BiCOR残量多项式的平方,提出了求解复非对称线性方程组的广义CORS方法（GCORS）,并导出了一个新的GCORS方法（GCORS2）及其预处理。对复对称线性方程组,首先,将求解复非对称线性方程组的QMOR方法推广至复对称情形,提出了求解复对称线性方程组的CSQMOR方法及其预处理;基于拟最小残量方法（QMR）与BiCOR方法的关系和不定内积,提出了求解复对称线性方程组的SQMOR方法及其双侧预处理。其次,对复对称不定线性方程组,建立了预处理简单Hermitian正规分裂迭代法（PSHNS）和预处理子,并分析了PSHNS迭代法的收敛性,给出了最优参数的表达式、迭代矩阵谱半径的上界估计和预处理矩阵的谱分布。最后,研究了复对称线性方程组形成的2×2块实线性方程组的求解问题,基于系数矩阵的特殊分裂和松弛技术,提出了一个新型块预处理子,并分析了预处理矩阵的谱性质,给出了预处理矩阵最小多项式次数的上界和新型块预处理子的具体实施过程。对具有多个右端项的复线性方程组,首先,给出了复总体BiCG方法（复Gl-BCG）和复总体BiCGSTAB方法（复Gl-BiCGSTAB）。其次,在复Gl-BCG方法基础上建立了总体广义积型Bi CG方法（Gl-GPBiCG）及其预处理。最后,通过研究Gl-GPBiCG方法计算过程中出现的反序递推关系式和不稳定的辅助多项式,提出了Gl-GPBiCG方法的改进形式及其预处理。数值结果说明了本文所给求解非Hermitian线性方程组的数值方法都是有效的。
二、求解大型对称不定线性方程组Lanczos算法收缩技巧（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、求解大型对称不定线性方程组Lanczos算法收缩技巧（论文提纲范文）
（1）图拉普拉斯矩阵特征值问题的数值算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 论文框架 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 M-矩阵及性质 |
| 2.2 大型矩阵特征值问题的数值算法 |
| 2.2.1 Arnoldi方法 |
| 2.2.2 Lanczos方法 |
| 2.2.3 SIRA算法 |
| 2.3 大型线性方程组的数值算法 |
| 2.3.1 PCG算法 |
| 2.3.2 MINRES算法 |
| 第三章 拉普拉斯矩阵特征值问题 |
| 3.1 拉普拉斯矩阵及性质 |
| 3.2 零特征空间与图分割 |
| 3.3 弱连接连通图 |
| 3.4 拉普拉斯矩阵特征值问题 |
| 3.4.1 Trimming技巧 |
| 3.4.2 Deflation技巧 |
| 3.4.3 位移技巧 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 拉普拉斯矩阵特征值问题的数值算法 |
| 4.1 可分拉普拉斯矩阵零特征值的数值算法 |
| 4.2 基于零特征空间的图分割算法 |
| 4.3 SIRA算法 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 数值实验 |
| 5.1 基于零特征空间的图分割数值实验 |
| 5.2 拉普拉斯矩阵特征值的数值实验 |
| 5.3 本章总结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 第七章 致谢 |
| 参考文献 |
（2）几类离散非线性偏微分方程及其约束优化问题的迭代解法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景及意义 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 基于矩阵分裂的迭代法 |
| 1.2.2 预处理Krylov子空间迭代法 |
| 1.3 本文的研究内容、研究方法与创新点 |
| 1.4 本文的结构安排 |
| 第二章 求解Ohta-Kawasaki方程的快速预处理算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Ohta-Kawasaki方程的模型离散 |
| 2.3 预处理子的提出及谱性质分析 |
| 2.3.1 CS预处理子的提出 |
| 2.3.2 算法实现比对 |
| 2.3.3 CS预处理矩阵的谱性质分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 Ohta-Kawasaki约束优化问题的快速预处理算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Ohta-Kawasaki方程约束优化控制问题的模型离散 |
| 3.3 离散优化系统的快速迭代求解 |
| 3.3.1 预处理子的提出 |
| 3.3.2 算法实现 |
| 3.4 预处理系统的谱性质分析 |
| 3.5 数值试验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 求解对流FitzHugh-Nagumo方程的有效预处理子 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 对流FitzHugh-Nagumo方程的模型离散 |
| 4.3 预处理子的提出及谱性质分析 |
| 4.3.1 SF预处理子的提出 |
| 4.3.2 SF预处理矩阵的谱性质分析 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 求解Navier-Stokes离散线性系统的预处理技术 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 RBS预处理子的提出及谱性质分析 |
| 5.2.1 RBS预处理子的提出 |
| 5.2.2 RBS预处理矩阵的谱性质分析 |
| 5.3 松弛RBS预处理子的提出及谱性质分析 |
| 5.4 数值试验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望及未来工作 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（3）矩阵逆的逼近及其在线性方程组预处理技术中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1 预备知识 |
| 1.1 本文记号说明 |
| 1.2 矩阵分裂技术 |
| 1.3 共轭梯度法和GMRES方法 |
| 1.4 牛顿迭代法和切比雪夫迭代法 |
| 2 逼近矩阵逆的四类迭代格式 |
| 2.1 矩阵形式的牛顿迭代法 |
| 2.2 修正的矩阵形式的牛顿迭代法 |
| 2.3 矩阵形式的切比雪夫迭代法 |
| 2.4 修正的矩阵形式的切比雪夫迭代法 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 结论 |
| 3 用于线性方程组的预处理技术 |
| 3.1 预优共轭梯度法和预处理GMRES方法 |
| 3.2 数值实验 |
| 3.3 结论 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
（4）网页排序的子空间算法和随机Kaczmarz算法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 应用背景和意义 |
| 1.2 问题研究现状 |
| 1.2.1 PageRank问题 |
| 1.2.2 线性方程组的随机算法 |
| 1.2.3 压缩感知问题 |
| 1.3 本文的主要工作和安排 |
| 1.3.1 本文研究工作的创新点 |
| 1.3.2 本文的章节安排 |
| 第二章 基于幂法求解PageRank问题的几种方法 |
| 2.1 幂法求解PageRank问题 |
| 2.2 内外迭代法求解PageRank问题 |
| 2.3 基于幂法的两步分裂矩阵迭代方法 |
| 2.4 两步分裂矩阵迭代算法的收敛性 |
| 2.5 基于内外迭代法的两阶段矩阵分裂法求解PageRank问题 |
| 2.6 数值实验 |
| 第三章 基于Arnoldi过程的多步分裂迭代算法求解PageRank问题 |
| 3.1 Arnoldi过程 |
| 3.2 深度重启的Arnoldi算法 |
| 3.3 MSPI迭代方法求解PageRank问题 |
| 3.4 预处理的MSPI迭代算法 |
| 3.5 预处理的MSPI算法的收敛性分析 |
| 3.6 数值实验 |
| 第四章 基于Krylov子空间GMRES-Power算法求解PageRank问题 |
| 4.1 求解PageRank问题的GMRES方法 |
| 4.2 重启的GMRES算法 |
| 4.3 GMRES-Power算法 |
| 4.4 GMRES-Power算法的收敛性分析 |
| 4.5 数值实验 |
| 第五章 求解线性方程组的随机Kaczmarz方法 |
| 5.1 Kaczmarz算法 |
| 5.2 Randomized Kaczmarz算法 |
| 5.3 贪婪Randomized Kaczmarz算法 |
| 5.4 多步贪婪Randomized Kaczmarz算法 |
| 5.5 多步贪婪Randomized Kaczmarz算法的收敛性分析 |
| 5.6 数值实验 |
| 第六章 改进的松弛随机Kaczmarz算法 |
| 6.1 松弛随机Kaczmarz算法 |
| 6.2 自适应多步松弛贪心随机Kaczmarz算法 |
| 6.3 自适应多步松弛贪心随机Kaczmarz算法收敛性分析 |
| 6.4 数值实验 |
| 第七章 随机Kaczmarz算法在压缩感知中的应用 |
| 7.1 压缩感知简要过程 |
| 7.1.1 信号的稀疏表示 |
| 7.1.2 测量矩阵的设计 |
| 7.1.3 信号恢复的重构算法 |
| 7.2 信号恢复稀疏解的Kaczmarz重构算法 |
| 7.2.1 随机稀疏化的Kaczmarz算法 |
| 7.2.2 自适应多步松弛贪婪的随机稀疏化Kaczmarz算法 |
| 7.3 数值实验 |
| 第八章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 致谢 |
（5）一类Krylov子空间方法的加速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作背景和意义 |
| 1.2 块Krylov子空间方法的发展概述 |
| 1.2.1 块Krylov子空间算法 |
| 1.2.2 块共轭梯度算法 |
| 1.3 本文主要内容和创新点 |
| 1.4 本文结构安排 |
| 1.5 符号说明 |
| 第二章 求解带多右端线性系统的AR-BFBCG算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 AR-BFBCG算法 |
| 2.2.1 BFBCG算法 |
| 2.2.2 动态重启策略 |
| 2.2.3 AR-BFBCG算法的构造 |
| 2.2.4 AR-BFBCG算法的性质 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 求解带多右端线性系统的PD-BCG算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 PD-BCG算法 |
| 3.2.1 D-BCG算法 |
| 3.2.2 PD-BCG算法的构造 |
| 3.2.3 PD-BCG算法的性质 |
| 3.3 自适应重正交策略 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 总结与展望 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 后续工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻硕期间取得的研究成果 |
（6）基于F-范数最小化的稀疏近似逆预处理方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题研究现状 |
| 1.2 本文研究内容和结构安排 |
| 第2章 基础知识 |
| 2.1 大型稀疏线性方程组的基本知识 |
| 2.2 求解大型稀疏线性方程组的迭代法 |
| 2.2.1 定常迭代算法 |
| 2.2.2 Krylov子空间迭代方法 |
| 2.3 大型稀疏线性方程组的预处理技术 |
| 2.3.1 ILU分解预处理技术 |
| 2.3.2 稀疏近似逆预处理技术 |
| 2.4 基于F-范数最小化的稀疏近似逆预处理技术 |
| 2.4.1 构造稀疏结构J的主要方法 |
| 2.4.2 SPAI算法 |
| 2.4.3 PSAI算法 |
| 2.4.4 理论分析 |
| 2.5 因子形式的稀疏近似逆预处理技术 |
| 2.5.1 AINV算法 |
| 2.5.2 FSAI算法 |
| 第3章 RSAI算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 基本的RSAI算法 |
| 3.3 基本的RSAI算法的理论分析以及实用的RSAI算法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 RSAI(fix)算法对比SPAI算法 |
| 3.4.2 RSAI(fix)算法对比RSAI(tol)算法 |
| 3.4.3 RSAI(tol)算法对比SPAI算法 |
| 3.4.4 RSAI(tol)算法与PSAI(tol)算法对比 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 精化的SPAI算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 精化的SPAI算法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.3.1 精化的SPAI算法的有效性 |
| 4.3.2 精化的SPAI算法和SPAI算法的比较 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 双重非规则问题的规则变换方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 双重非规则问题的规则变换方法 |
| 5.3 理论分析以及实用算法 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 S-SPAI算法对比N-SPAI算法 |
| 5.4.2 S-PSAI(tol)算法对比N-PSAI(tol)算法 |
| 5.4.3 S-RSAI(tol)算法对比N-RSAI(tol)算法 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 本文的创新点 |
| 6.3 对未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（7）多右端向量线性系统求解方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文主要工作与创新点 |
| 1.4 论文的结构安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Arnoldi过程 |
| 2.2 Lanczos过程 |
| 2.3 CG方法 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 求解多右端向量线性系统的Krylov子空间方法 |
| 3.1 seed方法 |
| 3.1.1 single seed方法 |
| 3.1.2 seed-CG方法 |
| 3.2 收缩方法 |
| 3.2.1 eigCG算法 |
| 3.2.2 Incr-eigCG算法 |
| 3.3 小结 |
| 第四章 求解位移线性系统的Krylov子空间方法 |
| 4.1 shifted CG算法 |
| 4.2 投影方法 |
| 4.3 小结 |
| 第五章 求解多右端向量的移位线性系统的Krylov子空间方法 |
| 5.1 shifted eigCG |
| 5.2 eigCG-projection |
| 5.3 Incr-eigCG-projection |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻硕期间取得的研究成果 |
（8）大型线性系统与分数阶方程求解及在电磁计算中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景与意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 复对称线性系统的Krylov子空间迭代解法 |
| 1.2.2 Toeplitz类线性系统的求解方法 |
| 1.2.3 位移线性方程组的求解 |
| 1.2.4 分数阶扩散方程的数值解法 |
| 1.3 本文的主要内容和方法 |
| 1.4 基本符号 |
| 第二章 求解电磁仿真中复对称线性系统COCG算法和COCR算法的两个QMR型变形 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 COCG算法和QMR SYM算法 |
| 2.2.1 COCG算法 |
| 2.2.2 QMR SYM算法 |
| 2.3 COCR算法和QMR CA算法 |
| 2.3.1 COCR算法 |
| 2.3.2 QMR CA算法 |
| 2.4 QMRCOCG算法和QMRCOCR算法 |
| 2.4.1 QMRCOCG算法 |
| 2.4.2 QMRCOCR算法 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 求解复对称线性系统的SCBiCG型算法及在几个电磁学模型仿真中的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 CBiCG算法 |
| 3.3 求解复对称线性系统的SCBiCG型算法 |
| 3.3.1 SCBiCG型算法之一：COCG算法 |
| 3.3.2 SCBiCG型算法之二：BiCGCR/COCR算法 |
| 3.4 预处理CBiCG算法 |
| 3.4.1 预处理COCG算法 |
| 3.4.2 预处理COCR算法 |
| 3.4.3 BiCGCR和COCR两种算法的数学等价性 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 求解近场动力学模型仿真问题的循环预处理迭代算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数学模型及其有限元离散 |
| 4.3 创建循环预处理子的过程 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 求解一类位移线性系统的BiCR型算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 BiCR型算法 |
| 5.2.1 BiCR算法 |
| 5.2.2 BiCRStab算法 |
| 5.3 BiCR型算法的位移版变形算法 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 关于位移BiCR和位移BiCG两种算法的结果 |
| 5.4.2 关于位移BiCRStab和位移BiCGStab两种算法的结果 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 基于Strang型预处理的BVM方法求解分数阶扩散方程 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 FDEs的半离散化形式和边值方法 (BVM) |
| 6.2.1 使用有限差分方法半离散FDEs |
| 6.2.2 边值方法 (BVMs) |
| 6.3 预处理子的创建和算法收敛性分析 |
| 6.3.1 预处理子的创建 |
| 6.3.2 收敛性和计算复杂度分析 |
| 6.4 数值实验 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 位移BiCGStab算法 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
（9）电磁场与流体计算中的离散鞍点系统的预处理算法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 符号 |
| 绪论 |
| 第1章 电磁散射问题离散PML系统的块三角预条件子 |
| 1.1 电磁散射问题的离散鞍点系统 |
| 1.2 对称预处理的块三角预条件子 |
| 1.3 单边预处理的块三角预条件子 |
| 1.4 数值实验 |
| 1.5 小结 |
| 第2章 时变麦克斯韦方程组离散鞍点系统的块对角预条件子 |
| 2.1 时变麦克斯韦方程组的离散鞍点问题 |
| 2.2 精确块对角预条件子 |
| 2.3 矩阵M的非精确块对角预条件子 |
| 2.4 矩阵(?)的非精确块对角预条件子 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 小结 |
| 第3章 Stokes方程离散鞍点系统的BGS-Uzawa和BJ-Uzawa迭代法 |
| 3.1 Stokes方程的离散鞍点系统 |
| 3.2 BGS-Uzawa算法 |
| 3.3 BJ-Uzawa迭代法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 Stokes方程离散鞍点系统的预处理变参数迭代法 |
| 4.1 PTU代算法 |
| 4.2 收敛性分析 |
| 4.3 预处理矩阵的谱性质 |
| 4.4 非线性非精确PTU迭代法 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 小结 |
| 第5章 Stokes方程离散鞍点系统的非精确松弛DPSS预条件子 |
| 5.1 非精确松弛DPSS预条件子 |
| 5.2 预处理矩阵K~(-1)(?)特征值界的估计 |
| 5.3 数值实验 |
| 5.3.1 利用Q2-Q1有限元离散的数值结果 |
| 5.3.2 利用Q2-P1有限元离散的数值结果 |
| 5.4 小结 |
| 第6章 Stokes方程离散奇异鞍点系统的谱性质及其非奇异预条件子 |
| 6.1 鞍点矩阵复特征值界的估计 |
| 6.2 奇异鞍点矩阵的谱性质 |
| 6.3 奇异鞍点矩阵的非奇异预条件子及其谱分析 |
| 6.4 数值实验 |
| 6.5 小结 |
| 第7章 非线性鞍点问题的非线性非精确Uzawa混合算法 |
| 7.1 非线性鞍点问题的应用背景 |
| 7.2 预备知识及新算法格式 |
| 7.3 收敛性分析 |
| 7.4 数值实验 |
| 7.5 小结 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（10）非Hermitian线性方程组的若干迭代方法及其预处理（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 复非对称线性方程组数值解法的研究进展 |
| 1.2.1 经典迭代法 |
| 1.2.2 Krylov子空间方法 |
| 1.2.3 HSS类迭代法 |
| 1.3 复对称线性方程组数值解法的研究进展 |
| 1.3.1 Krylov子空间方法 |
| 1.3.2 HSS类迭代法 |
| 1.3.3 2×2 块实系数线性方程组的数值方法 |
| 1.4 求解多右端项线性方程组的研究进展 |
| 1.4.1 块Krylov子空间方法与种子投影方法 |
| 1.4.2 总体Krylov子空间方法 |
| 1.5 本文工作概要及内容安排 |
| 第二章 QMOR方法 |
| 2.1 BICOR方法 |
| 2.2 双共轭A-正交化过程 |
| 2.3 耦合双共轭A-正交化过程 |
| 2.4 求解复非对称线性方程组的一个新拟最小残量(QMOR)方法 |
| 2.5 求解复对称线性方程组的CSQMOR方法 |
| 2.6 数值试验 |
| 2.7 本章小结 |
| 第三章 CORS方法及其改进 |
| 3.1 CORS方法 |
| 3.2 TFQMORS方法 |
| 3.2.1 TFQMORS方法的建立 |
| 3.2.2 TFQMORS方法的收敛性分析 |
| 3.3 广义CORS方法 |
| 3.3.1 广义CORS方法 |
| 3.3.2 广义CORS2方法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 TFQMORS方法及其相关方法的数值实验 |
| 3.4.2 CORS2方法及其相关方法的数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 复对称线性方程组的高效迭代法和预处理子 |
| 4.1 SQMOR方法 |
| 4.1.1 QMRBiCOR方法 |
| 4.1.2 SQMOR方法 |
| 4.2 PSHNS迭代法和PSHNS预处理子 |
| 4.2.1 PSHNS迭代法和PSHNS预处理子 |
| 4.2.2 收敛性分析 |
| 4.3 2×2 块实线性方程组的新型块预处理子 |
| 4.3.1 新型块预处理子的构造 |
| 4.3.2 预处理矩阵的谱性质 |
| 4.3.3 预处理子的实现 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 SQMOR方法及其相关方法的数值实验 |
| 4.4.2 PSHNS预处理子及其相关方法的数值实验 |
| 4.4.3 新型块预处理子及其相关方法的数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 具有多右端项复线性方程组的总体GPBICG方法 |
| 5.1 复GL-BCG方法 |
| 5.2 总体GPBICG方法 |
| 5.3 总体GPBICG-PLUS方法 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作总结 |
| 6.2 今后的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的学术论文 |
四、求解大型对称不定线性方程组Lanczos算法收缩技巧（论文参考文献）
- [1]图拉普拉斯矩阵特征值问题的数值算法[D]. 刘瑞. 东南大学, 2020(01)
- [2]几类离散非线性偏微分方程及其约束优化问题的迭代解法[D]. 李瑞霞. 兰州大学, 2020(01)
- [3]矩阵逆的逼近及其在线性方程组预处理技术中的应用[D]. 于鑫鹏. 大连理工大学, 2019(02)
- [4]网页排序的子空间算法和随机Kaczmarz算法及其应用[D]. 蒋祥龙. 上海大学, 2019(01)
- [5]一类Krylov子空间方法的加速算法研究[D]. 向燕菲. 电子科技大学, 2019(01)
- [6]基于F-范数最小化的稀疏近似逆预处理方法[D]. 康文洁. 清华大学, 2017(02)
- [7]多右端向量线性系统求解方法研究[D]. 金梅. 电子科技大学, 2017(02)
- [8]大型线性系统与分数阶方程求解及在电磁计算中的应用[D]. 顾先明. 电子科技大学, 2017(01)
- [9]电磁场与流体计算中的离散鞍点系统的预处理算法研究[D]. 黄娜. 福建师范大学, 2016(04)
- [10]非Hermitian线性方程组的若干迭代方法及其预处理[D]. 张建华. 南京航空航天大学, 2016(12)