标准纵横分割下线性有限元方程的快速AMG算法

一、标准Criss-Cross剖分下线性有限元方程的快速AMG算法（论文文献综述）

谢凌洁^[1]（2020）在《分层高阶四边形亚参元PCG方法及其应用研究》文中研究说明在二维问题有限元分析中,由于求解区域往往是不规则的,如重力坝/腹拱坝问题,需要采用非结构四边形网格进行剖分,这种四边形网格可以更好地反映变形体中的位移状态和应力状态。为了获取较高精度的有限元数值解,在计算中需要采用四边形高阶单元（目前应用广泛的有限元软件如ANSYS、ABAQUS也仅提供了二次单元选项）。但与低阶单元相比,高阶单元需要更多计算机存储空间,生成相应的单元特性矩阵及总刚度矩阵需要更多的计算工作量,如何提高其计算效率是一个非常值得研究的问题。另外,高阶单元对应的离散化代数系统也具有更高计算复杂性和病态性,通常的求解方法其效率将大大降低,需要为其设计快速求解方法（如PCG法）,以便提高有限元分析的整体计算效率。本论文围绕重力坝/腹拱坝问题的非规则四边形网格生成、分层四边形高阶亚参元方法以及相应离散化系统的代数求解等方面展开研究,主要内容和结论如下:（1）利用全自动四边形网格生成程序:AUTOMESH-2D,生成得到了重力坝/腹拱坝问题的非结构四边形网格剖分。该程序的优势是,仅需设定好单元尺寸即可得到质量和效率很高的任意四边形网格剖分;然后,论述了一种通过增加棱内“虚节点”和面内“虚节点”方式得到的四边形升阶谱单元及相应的阶谱函数,并结合矩阵的一维稀疏存储技术（CSR格式）设计实现了相应的分层四边形高阶亚参元方法。通过将所设计的方法应用于重力坝/腹拱坝问题的求解,验证了方法的有效性和适应性。（2）针对重力坝问题的非结构四边形分层高阶元离散化系统,利用其系数矩阵对角分块矩阵的代数性质,并结合分层结构特性设计了一种简单、有效的预条件子,从而获得了内迭代计算效率得到大大提高的PCG法。所采用方法的基本思想是将四边形分层高阶元离散化系统本质性地化归为Q4元离散化系统的快速求解。通过对重力坝/腹拱坝问题分层Q8元和分层Q12元离散化系统进行数值测试,验证了方法的有效性。（3）利用ANSYS参数化语言（APDL）设计了一种基于“坝趾”和“坝踵”局部误差控制的p型自适应有限元方法,它能够在单元数较少的情况下,保持初始网格不变、通过局部提高单元阶次来改善计算精度。通过将该方法应用于重力坝有限元数值计算与模拟中,数值结果表明,这种p型自适应有限元法可有效提高“坝趾”和“坝踵”附近数值解的精度,对求解重力坝问题是非常有效的。

陈恒^[2]（2019）在《基于p-AFEM的混凝土随机非规则骨料模型与两水平分层PCG法研究》文中认为在细观层次上混凝土被视作由骨料、砂浆基体和界面层所组成的三相非均匀复合材料,其中骨料的形状、分布以及含量将对混凝土材料的力学性能产生很大影响。为了能更好地分析混凝土材料的相关力学性能,需要尽可能地模拟实际骨料的形态及含量,生成符合骨料实际形状的非规则型骨料几何模型。在对非规则型骨料模型进行有限元数值模拟时,由于界面层较薄及骨料的非规则性,特别是骨料的凹凸性,往往需要采用自适应有限元方法,以确保各骨料界面附近保持较高精度的计算结果。在自适应有限元算法中,求解模块即相应离散化系统的代数求解也是影响骨料模型有限元整体分析效率的一个重要因素。在实际应用中,骨料模型各组分材料的材料常数可能相差很大,这将导致相应离散化系统的系数矩阵呈现出高度病态性,从而使得通常的求解方法效率大大降低,为此,需要设计具有更高计算效率的求解方法。本论文主要围绕二维混凝土随机非规则骨料模型的几何模型建立、高效自适应有限元方法以及相应离散化系统的代数求解等方面展开研究,主要内容和结论如下:（1）基于ANSYS参数化语言（APDL）设计并编写了二维随机非规则型骨料几何模型的生成算法。该算法能快速实现二级配、三级配及四级配的任意非规则（如凹凸形、曲线形）骨料几何模型,且含量超过60%,进而可满足混凝土细观力学分析对骨料含量的要求,也为后续的网格划分、有限元数值模拟及后处理分析等提供了“立等可取”的即时几何模型数据。（2）提出了一种基于“分区分级”局部误差控制的p型自适应有限元方法,重点考虑了局部误差控制标准对各骨料界面附近节点计算结果的影响,并且编制了相应的自适应计算程序及后处理程序。通过将这种方法应用于几类典型混凝土非规则型骨料模型的弹性及弹塑性有限元分析中,结果表明了其有效性和适应性,能很好地解决非规则骨料特别是凹凸形骨料所引起的应力集中现象,为研究基于真实骨料形状库的骨料模型数值分析提供了一种高效计算方法。（3）针对骨料模型的分层二次元离散系统,利用其系数矩阵的分层结构特性及分块对角矩阵的性质设计了两种简单、有效的预条件子。这些预条件子的计算主要化归为线性元离散系统的求解,利用已有的GAMG法可为其提供高效方法。通过对几种典型骨料模型进行了数值测试,验证了相应PCG法的有效性和鲁棒性,为实际混凝土骨料模型的有限元分析提供了快速求解方法。

张申,肖映雄,郭瑞奇^[3]（2018）在《三维薄结构热传导问题分层二次元方程的多水平方法》文中研究说明在利用有限元法对三维薄结构进行分析时,为了减少单元数目,常采用六面体薄单元,相应的高阶单元在计算精度、抗畸变程度等方面具有明显优势.但与低阶元相比,高阶单元需要更多的计算机存储空间,离散化线性系统具有更高的计算复杂性,并且系数矩阵是严重病态的,采用通常的求解方法其效率将大大降低.该文针对三维薄结构稳态热传导问题,利用局部块Gauss-Seidel光滑子和基于"距离矩阵"的DAMG法,为其分层二次元离散系统设计了一种具有更好计算效率和鲁棒性（robustness）的多水平方法.由于采用了分层基,程序实现中不再需要建立判定未知数变量指标与所属几何节点类型对应关系的代数判据,网格转换算子的构造也变得非常简单,从而大大提高了运算效率.数值实验结果验证了该方法的有效性和鲁棒性.

张申,肖映雄,郭瑞奇^[4]（2017）在《三维薄结构热传导问题Wilson元离散系统的DAMG法》文中指出对三维薄结构问题,在进行网格剖分时,为了减少单元数目,常采用六面体薄单元,相应的高阶单元在计算精度、抗畸变程度等方面具有明显优势,但也大大增加了计算复杂性。Wilson元通过在单元内部设置附加自由度的方式来提高完全多项式的次数,具有计算精度高且自由度又少的优点,因而在实际计算中被广泛使用。但要提高这种非协调元分析效率还需为相应离散系统设计好的求解方法。本文针对一般变系数三维薄结构热传导问题,建立了Wilson元计算格式,并将DAMG法应用于与8节点三线性元谱等价的Wilson元离散系统的求解。数值实验结果表明,与常用方法相比,基于"距离矩阵"的代数多重网格（DAMG）法具有更好的计算效率和鲁棒性（robustness）。

张申^[5]（2017）在《三维薄结构稳态热传导问题的高效有限元分析及其快速求解算法》文中研究指明薄结构由于具有某些方面的特点,已被广泛地应用于各类实际问题中,如涂层问题、各种层合结构问题以及电子器件的散热问题等。薄结构由于其某一维度几何尺寸与另外两个维度的尺寸相差很大,对其进行分析计算存在很大的困难,需要采用数值分析方法,如有限元方法。在使用有限元法对薄结构进行分析时,为了减少单元数目,常采用六面薄结构单元,相应的高阶单元在计算精度、抗畸变程度等方面具有明显优势。但与低阶元相比,高阶单元需要更多的计算机存储空间,离散化线性系统具有更高的计算复杂性,并且系数矩阵是严重病态的,造成通常的求解方法的效率大大降低。论文首先针对三维薄结构稳态热传导问题,利用局部块Gauss-Seidel光滑子和基于“距离矩阵”的DAMG法,为其分层二次元离散系统设计了一种具有更好计算效率和鲁棒性（robustness）的多水平方法。由于采用了分层基,在两水平方法程序实现中不再需要建立判定未知数变量指标与所属几何节点类型对应关系的代数判据,网格转换算子的构造也变得非常简单,从而大大提高了运算效率。数值实验结果验证了方法的有效性和鲁棒性。对更高阶单元（如三次及以上）,由于其计算复杂性更大,相应的多水平方法求解效率将降低,不利于处理大规模实际问题。论文的第二部分利用Wilson非协调元分析三维薄结构热传导问题。Wilson非协调元通过在单元内部设置附加自由度以提高完全多项式的次数,具有自由度少、计算精度高等优点,在实际计算被广泛使用。论文针对一般变系数三维薄结构热传导问题,建立了两种Wilson元计算格式。这种单元尽管在单元边界上温度不协调,但通过内部凝聚法,可将Wilson元离散系统化为与八节点三线性元或二十节点三二次元谱等价的离散系统。与高次六面体单元相比,Wilson元没有边内点和面内点,在进行有限元整体分析时可大大减少计算机存储空间,也有效地降低了计算复杂性。然后,将适用于各向异性网格问题的DAMG法应用于八节点Wilson元离散系统的求解。与常用方法相比,DAMG法具有更好的计算效率和鲁棒性,为实际求解薄结构热传导问题提供了一种快速计算方法。最后,通过对几类常用薄结构稳态热传导问题的计算和分析,验证了相关方法的高效性。

郭瑞奇^[6]（2017）在《三维混凝土骨料模型的p型自适应有限元及其快速求解算法》文中研究指明三维混凝土骨料模型是一种含不同形状骨料且随机分布的复杂弱不连续问题,为确保各骨料界面附近能获得精度较高的数值计算结果,使用普通的全域网格加密方法将会导致计算机物理内存的剧烈增长。而现有文献大多是针对混凝土骨料颗粒投放算法的研究,然后对所生成的骨料模型用普通的有限元方法进行力学仿真实验,相关的有限元求解算法及效率分析方面的研究不多。本文,针对三维混凝土骨料模型问题,对其p型自适应有限元及其快速求解算法展开研究,以提高其有限元分析的整体效率,主要工作和结论如下。1.基于Fortran和ANSYS软件,提出了一种快速建立三维随机骨料混凝土模型的混合实现方法,并在此基础上生成三维椭球形骨料（卵石）模型、凸多面体骨料（碎石）模型以及混合骨料模型。算例结果表明,这种新方法可以快速生成三级配球形颗粒混凝土模型所需的骨料数据,相应的骨料投放含量能达到65%左右。该混合方法可将骨料颗粒和界面层分离开来,在有限元网格剖分时避免了复杂的单元属性判别。通过对椭球形骨料模型和凸多面体骨料模型的有限元数值模拟,进一步验证了该混合方法的有效性。2.针对三维混凝土骨料模型问题设计了相应的p型自适应有限元方法,重点讨论了容许误差控制标准对界面上各点计算结果的影响,编制了相应的自适应计算程序及后处理程序。通过对两种典型含夹杂问题作误差和效率分析,验证了p型有限元方法的有效性;然后,将该方法应用于几种三维混凝土骨料模型的数值模拟。结果表明,p型自适应有限元方法可以有效求解混凝土类复合材料问题,利用较少的单元获得较为精确的结果,大大提高了数值分析效率。3.针对采用高阶单元离散的三维混凝土骨料模型,为相应的大型离散系统设计了快速求解算法,以提高其整体分析效率。针对四面体分层高次元方程,设计了相应的两水平方法和多水平方法。这些方法本质上是将高次元方程的求解化归为线性元方程的求解。由于采用了分层基,程序实现中不再需要建立判定未知数变量指标与所属几何节点类型对应关系的代数判据,网格转换算子的构造也变得非常简单,从而大大提高了运算效率。通过对几种典型骨料模型进行数值测试,验证了方法的有效性,为实际求解三维混凝土骨料模型提供了一种快速计算方法。

周磊^[7]（2014）在《三维近不可压弹性问题的数值方法及其快速求解算法研究》文中进行了进一步梳理有限元（FEM）方法是求解三维弹性力学问题的一类重要的数值方法。在实际计算时，诸如橡胶、塑料等材料呈现出近不可压缩（即泊松比ν→0.5）的性质，利用通常的有限元（如线性元）进行求解会出现所谓的体积闭锁现象，往往需要采用一些特殊的方法。本文，首先基于ANSYS平台系统研究了六面体网格剖分下高阶单元法、减缩积分法及基于u/p格式的混合高阶元法对求解混合边界条件的三维近不可压缩问题的有效性和鲁棒性（robustness）。数值结果表明：这三种协调有限元法均能有效地克服三维弹性材料的体积闭锁现象，其中混合高阶元法最为精确，计算所得位移值均随网格尺寸变小而稳定地收敛于理论解。但混合元方法得到的总体刚度矩阵通常为一半正定矩阵，且计算规模比位移法大一倍，在选取快速求解器将带来不便。我们希望对近不可压缩问题进行离散后得到的是一个对称、正定矩阵，这样便于选取更为有效的求解器。本文第二部分针对混合边界条件的三维近不可压缩弹性问题，利用基于能量泛函极小的罚函数有限元方法克服体积闭锁现象，详细推导了相应的计算格式，分析了该方法实施成功的条件，并通过数值实验验证了该方法对解决体积闭锁现象的有效性和鲁棒性。在三维有限元分析中，剖分网格的质量将对计算精度和求解效率产生很大影响，实际计算时若能采用各向同性网格，则对问题的分析将具有更好的收敛性。本文，最后针对罚函数有限元分析中形成的大型的、稀疏的和高度病态的正定方程组，设计了几种预处理共轭梯度（PCG）法，包括基于块对角逆预条件子的PCG法（即M1-PCG和M2-PCG）和基于整体矩阵的RS-GAMG-PCG法，并对这些方法在求解悬臂梁问题和Cook膜问题罚函数二次元方程的计算效率进行了数值测试与分析，结果表明，对近不可压缩弹性问题，若能利用容易获知的部分几何与分析信息（如方程类型，节点自由度信息），再结合经典AMG法中的网格粗化技术及插值算子构造方法，可设计具有更好计算效率的AMG法及相应的PCG法，将大大提高其有限元分析整体效率。

肖映雄,周志阳,舒适^[8]（2011）在《几类典型网格下三维弹性问题的代数多层网格法》文中研究说明有限元方法是数值求解三维弹性问题的一类重要的离散化方法。在有限元分析中,网格的几何形状及网格质量会对有限元离散代数系统的求解产生很大影响。该文系统研究了几类典型网格对几种常用AMG法计算效率的影响,并进行了详细的性能测试与比较。利用容易获知的部分几何与分析信息（如方程类型,节点自由度信息）,再结合经典AMG法中的网格粗化技术,设计了具有更好计算效率和鲁棒性的AMG法。数值试验结果验证了算法的有效性。

王俊仙^[9]（2020）在《几类典型PDEs高次有限元方程的快速算法研究》文中进行了进一步梳理H（D）（D=grad,curl,div）型椭圆偏微分方程和Maxwell鞍点问题是几类典型的微分方程组（PDEs）.高次有限元方法是求解这几类偏微分方程的重要离散化方法,由于这些离散系统系数矩阵的条件数较强地依赖于网格规模、跳系数分布及有限元的次数（如HBk分层基下的高次有限元）等,因此研究其快速求解算法非常必要.本文利用基于辅助空间的预条件子方法、代数多层网格（AMG）法和非重叠区域分解法（DDM）,比较系统地研究了上述几类典型PDEs的高次有限元离散系统的高效预条件子及相应的快速求解算法,获得以下主要结果.针对含跳系数的H（grad）型椭圆问题在HBk分层基下的高次有限元方程,给出了一种基于块磨光方法的并行两水平预条件子算法（TLB-p）,它本质性地将高次元预条件子构造问题转化为相应的线性元预条件子构造问题.通过将线性元预条件子取为经典并行AMG预条件子,获得了求解高次元方程的第一种预条件子（TLB-AMG-p）,数值实验结果表明,相应的并行PCG法的迭代次数基本不依赖于网格规模,弱依赖于高次元的次数以及系数的跳幅.接着,设计了一种基于非重叠DDM的线性元预条件子,与已有的非重叠DDM预条件子相比,它具有粗空间简单和计算复杂度低等优点,理论和数值实验结果表明该预条件子对应的预条件系统的有效条件数是渐近最优的.基于该线性元预条件子,我们得到了另一种求解高次元方程的预条件子（TLB-DDM-p）,数值实验结果表明,相应的PCG法也是高效的.针对H（curl）型椭圆问题的两类高次棱有限元离散系统,利用高次元空间的稳定性分解理论和上述构造的H（grad）型高次元预条件子,本质性地将H（curl）型高次元预条件子构造问题转化为相应的线性元预条件子构造问题.进一步,通过将线性元预条件子取为一种基于辅助空间的预条件子,得到了求解H（curl）型高次棱元方程的第一种预条件子,数值实验结果表明,不论是对光滑系数还是对有无浮动子区域的跳系数情形,相应的并行PCG法的迭代次数都基本不依赖于网格规模,弱依赖于系数跳幅,且具有很好的算法可扩展性.接着,设计了一种基于非重叠DDM的线性元预条件子,它具有与上述H（grad）型线性元DDM预条件子同样的优点,特别对常系数的情形,证明了该预条件系统的条件数是渐近最优的.数值实验验证了理论的正确性,同时表明对大跳系数的情形,该预条件子也是高效的.针对Maxwell鞍点问题零阶项系数γ=0的情形,利用正则化思想和辅助空间预条件子方法,为高次棱元鞍点系统设计了一种新的Uzawa算法.特别针对光滑系数下的线性棱元鞍点系统,证明了该Uzawa法的收敛率与网格规模无关.数值实验结果表明,不论是对于有无浮动子区域及有无内交叉点的跳系数情形,该 Uzawa 法的迭代次数基本不依赖于系数跳幅及网格规模,且比常用的 Uzawa 法具有更强的健壮性和更高的运算效率.针对H（div）型椭圆问题的两类高次有限元离散系统,建立了一般高次元空间的稳定性分解理论,它本质性地将H（div）型高次元预条件子构造问题转化为相应的线性元预条件子和H（curl）型高次元预条件子的构造问题.进一步,利用上述构造的H（curl）型高次元预条件子和基于辅助空间的线性元预条件子构造方法,获得了一种H（div）型高次元预条件子,理论上证明了相应的预条件系统的条件数不依赖于网格规模.数值实验验证了理论的正确性,同时也表明了算法的高效性和健壮性.

张红梅,肖映雄,舒适^[10]（2008）在《三维椭圆问题三次有限元方程的代数多层网格法》文中研究指明通过分析三次有限元空间与线性有限元空间之间的关系,提出了一种求解三维椭圆问题三次有限元方程的两水平方法.然后,通过调用现有的代数多层网格（AMG）法求解粗水平方程,建立了求解三次有限元方程的AMG法,并对其收敛性进行了严格的理论分析.数值实验结果表明,本文设计的AMG方法对求解三维椭圆问题三次有限元方程具有很好的计算效率和鲁棒性.

二、标准Criss-Cross剖分下线性有限元方程的快速AMG算法（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、标准Criss-Cross剖分下线性有限元方程的快速AMG算法（论文提纲范文）

（1）分层高阶四边形亚参元PCG方法及其应用研究（论文提纲范文）

（2）基于p-AFEM的混凝土随机非规则骨料模型与两水平分层PCG法研究（论文提纲范文）

（3）三维薄结构热传导问题分层二次元方程的多水平方法（论文提纲范文）

（4）三维薄结构热传导问题Wilson元离散系统的DAMG法（论文提纲范文）

（5）三维薄结构稳态热传导问题的高效有限元分析及其快速求解算法（论文提纲范文）

（6）三维混凝土骨料模型的p型自适应有限元及其快速求解算法（论文提纲范文）

（7）三维近不可压弹性问题的数值方法及其快速求解算法研究（论文提纲范文）

（8）几类典型网格下三维弹性问题的代数多层网格法（论文提纲范文）

（9）几类典型PDEs高次有限元方程的快速算法研究（论文提纲范文）

（10）三维椭圆问题三次有限元方程的代数多层网格法（论文提纲范文）

四、标准Criss-Cross剖分下线性有限元方程的快速AMG算法（论文参考文献）

• [1]分层高阶四边形亚参元PCG方法及其应用研究[D]. 谢凌洁. 湘潭大学, 2020(02)
• [2]基于p-AFEM的混凝土随机非规则骨料模型与两水平分层PCG法研究[D]. 陈恒. 湘潭大学, 2019(02)
• [3]三维薄结构热传导问题分层二次元方程的多水平方法[J]. 张申,肖映雄,郭瑞奇. 应用数学和力学, 2018(06)
• [4]三维薄结构热传导问题Wilson元离散系统的DAMG法[J]. 张申,肖映雄,郭瑞奇. 广西大学学报(自然科学版), 2017(04)
• [5]三维薄结构稳态热传导问题的高效有限元分析及其快速求解算法[D]. 张申. 湘潭大学, 2017(02)
• [6]三维混凝土骨料模型的p型自适应有限元及其快速求解算法[D]. 郭瑞奇. 湘潭大学, 2017(02)
• [7]三维近不可压弹性问题的数值方法及其快速求解算法研究[D]. 周磊. 湘潭大学, 2014(03)
• [8]几类典型网格下三维弹性问题的代数多层网格法[J]. 肖映雄,周志阳,舒适. 工程力学, 2011(06)
• [9]几类典型PDEs高次有限元方程的快速算法研究[D]. 王俊仙. 湘潭大学, 2020(06)
• [10]三维椭圆问题三次有限元方程的代数多层网格法[J]. 张红梅,肖映雄,舒适. 数值计算与计算机应用, 2008(04)

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